MATLAB大作业
作业要求：
（1）编写程序并上机实现，提交作业文档，包括打印稿（不含源程序）和电子稿（包含源程序），以班为单位交，作业提交截止时间6月24日。
（2）作业文档内容：问题描述、问题求解算法（方案）、MATLAB程序、结果分析、本课程学习体会、列出主要的参考文献。打印稿不要求MATLAB程序，但电子稿要包含MATLAB程序。
（3）作业文档字数不限，但要求写实，写出自己的理解、收获和体会，有话则长，无话则短。不要抄袭复制，可以参考网上、文献资料的内容，但要理解，要变成自己的语言，按自己的思路组织内容。
（4）从给出的问题中至少选择一题(多做不限，但必须独立完成，严禁抄袭)。
（5）大作业占过程考核的20%，从完成情况、工作量、作业文档方面评分。
第一类：绘制图形。（B级）
问题一：斐波那契（Fibonacci）螺旋线，也称黄金螺旋线（Golden spiral），是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示。
问题二：绘制谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出,它是一种典型的自相似集。其生成过程为：取一个实心的三角形（通常使用等边三角形），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，然后去掉中间的那一个小三角形。接下来对其余三个小三角形重复上述操作，如图所示。
问题三：其他分形曲线或图形。分形曲线还有很多，教材介绍了科赫曲线，其他还有皮亚诺曲线、分形树、康托（G. Cantor）三分集、Julia集、曼德布罗集合（Mandelbrot set），等等。这方面的资料很多（如www.360doc/content/16/0103/14/5315_525141100.shtml），请分析构图原理并用MATLAB实现。
问题四：模拟掷骰子游戏：掷1000次骰子，统计骰子各个点出现的次数，将结果以下表的形式显示，并绘制出直方图。
点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
166
150
164
162
184
174
问题五：利用MATLAB软件绘制一朵鲜花，实现一定的仿真效果。
提示：二维/三维绘图，对花瓣、花蕊、叶片、花杆等的形状和颜进行详细设置。
第二类：插值与拟合。（B级）
问题一：有人对汽车进行了一次实验，具体过程是，在行驶过程中先加速，然后再保持匀速行驶一段时间，接着再加速，然后再保持匀速，如此交替。注意，整个实验过程中从未减速。在一组时间点上测得汽车的速度如表所示。
t
0
20
40
56
68
80
84
96
104
110
v
0
20
20
38
80
80
100
100
125
125
（1）分别使用最近点插值、线性插值、三次埃尔米特插值和三次样条插值进行计算[0,110]时间段50个时间点的速度。
（2）绘制插值图形并标注样本点。
问题二：估算矩形平板各个位置的温度。已知平板长为5m，宽为3m，平板上3×5栅格点上的温度值为44，25，20，24，30；42，21，20，23，38；25，23，19，27，40。
（1）分别使用最近点插值、线性插值和三次样条插值进行计算。
（2）用杆图标注样本点。
（3）绘制平板温度分布图。
问题三：自行车道的设计。对9条道路上的自行车道宽度以及自行车与过往机动车之间的平均距离进行测量，数据如表所示。
距离（m）
2.4
1.5
2.4
1.8
1.8
2.9
1.2
3
1.2
车道宽度（m）
2.9
2.1
2.3
2.1
1.8
2.7
1.5
2.9
1.5
（1）对数据进行线性拟合。
（2）绘制拟合曲线和样本点。
（3）如果自行车与过往机动车之间安全距离的最小距离是1.8m，试计算相应的自行车道宽度的最小值。
问题四：在水资源工程学中，水库的大小与为了蓄水而拦截的河道中的水流速度密切相关。对于某些河流来说，这种长时间的历史水流记录很难获得。然而通常容易得到过去若干年间关于降水量的气象资料。鉴于此，推导出流速与降水量之间的关系式往往特别有用。只要获得那些年份的降水量数据，就可以利用这个关系式计算出水流速度。下表是在被水库拦截的某河道中测得的数据。
降水量（cm）
88.9
108.5
104.1
139.7
127
94
116.8
99.1
流速（m3/s）
14.6
16.7
15.3
23.2
19.5
16.1
18.1
16.6
（1）对数据进行线性拟合。
（2）绘制拟合曲线和样本点。
（3）如果某年的降水量是120cm，利用拟合直线估算当年的水流速度。
（4）若流域面积为1100km2，估计在其他过程中，如蒸发、深层地下水渗透和消耗用途，损失的降水量占总体降水量的比例。
问题五：假设有已知实测数据如下表所示：
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
y
2.3201
2.6470
2.9707
3.2885
3.6008
3.9090
4.2147
4.5191
4.8232
5.1275
假设已知该数据可能满足的原型函数为，试求出满足数据的最小二乘解a,b,c,d的值。
提示：曲线拟合并绘图分析
第三类：定积分问题。（B级）
问题一：地球密度随着离中心（r=0）距离的变化而变化，不同半径处的密度如表所示，试估算地球质量。
r（km）
0
1100
1500
2450
3400
3630
4500
5380
6060
6280
6380
ρ（g/cm3）
13
12.4
12
11.2
9.7
5.7
5.2
4.7
3.6
3.4
3
问题二：河道平均流量Q（m3/s）可使用速度和深度的乘积的积分来计算（河道横截面不规则），公式如下。
其中V(x)是离岸x（m）距离处的水速（m/s）,H(x)是离岸x距离处的水深（m）。根据收集到的河道离岸不同距离处的水速V和水深H（如表所示），估计流量。
x
0
1.6
4.1
4.8
6.1
6.8
9
V
0
0.08
0.61
0.68
0.55
0.42
0
x
0
1.1
2.8
4.6
6
8.1
9
H
0
0.21
0.78
1.87
1.44
1.28
0.2
第四类：线性方程组求解。（B级）
问题一：多项式插值指的是采用唯一的n-1次多项式对n个数据点进行拟合。该多项式的一般形式为：
p(x)=p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn
确定这些系数的一种直接方法是，建立n个线性代数方程，然后求解。已知一个四次多项式通过5个点，如表所示。
x
200
250
300
400
500
y
0.746
0.675
0.616
0.525
0.457
（1）建立线性方程组，并求解得到多项式的系数。
（2）计算该线性方程组系数矩阵的条件数，并进行解释。
（3）绘制多项式曲线并求其零点。
问题二：如图所示，5个反应器通过导管连接在一起。每根导管中化学物的传输率等于流速（Q，单位是m3/s）乘以化学物浓度（c，单位是mg/m3）。若系统达到稳定状态，流入和流出每个反应器的质量相等。例如，对于第一个反应器来说，质量守恒可表示为：
Q01c01+Q31c3=Q15c1+Q12c1
（1）使用LU分解计算平衡方程系数矩阵的逆矩阵。
如何用matlab将已知点连线
（2）求各反应器中化学物的稳态浓度。
问题三：静定桁架受力分析。
（1）如图所示，求力和反作用力。
（2）求受力平衡方程系数矩阵的逆矩阵，对于逆矩阵第二行中的零，作何解释。
（3）将节点1的力改为方向向上，计算这种改变对H2和V2的影响。
（4）将节点1的力撤销，而在节点1和2处施加1500N的水平外力，求节点3处垂直反作用力（V3）。
第五类：一元方程求解。（B级）
问题一：在热力学中，下列多项式将干燥空气的零压力比热cp（单位为kJ/（kgK））与温度（单位为K）关联起来了：
Cp=0.99403+1.671×10-4T+9.7215×10-8T2-9.5838×10-11T3+1.9520×10-14T4
（1）绘制在T=0~1200K范围内，cp随温度变化的曲线。
（2）求对应于1.1kJ/（kgK）比热的温度。
问题二：在化学工程中，将水蒸汽（H2O）加热到足够高的温度，使得大部分水发生分解或分离而形成氧气（O2）和氢气（H2）：
H2OH2+O2
如果假定其中只存在这一种化学反应，那么已经发生分解的H2O所占比列x可以表示为：
其中K为该反应的平衡系数，Pt为混合物的总压强。如果Pt=4，且K=0.05，那么求满足该式子的x值。

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