谐振腔matlab模式计算，激光谐振腔的模式计算研究
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1、1 激光谐振腔模式研究的MATLAB实现 光信1001班 刘吉祥 U201013222 摘要：谐振腔内的模式计算是分析激光器输出光束质量的前提和基础。本 ⽂在matlab环境下，采⽤Fox_Li数值迭代法计算了条形腔、矩形腔、圆形腔、 倾斜腔的⾃再现模的振幅分布和相位分布，并⽐较了腔形、菲涅尔数、初始光 强分布、倾斜扰动等因素对最终模式的影响，具有⼀定的实际应⽤价值。 1. 原理说明 设初始时刻在镜I 上有某⼀个场分布 ，则当波在腔中经第⼀次渡越⽽到 1 u 达镜II时，将在镜II上形成⼀个新的场分布 ，场 经第⼆次渡越后⼜将 2 u 2 u 在镜I上形成⼀个新的场分布 。每次渡越时，波都将因为。
2、衍射损失⼀部分能 3 u 量，并引起能量分布变化，如此重复下去由于衍射主要是发⽣在镜的边缘 附近，因此在传播过程中，镜边缘附近的场将衰落得更快，经多次衍射后所形 成的场分布，其边缘振幅往往都很⼩(与中⼼处⽐较) ，具有这种特征的场分布 受衍射的影响也将⽐较⼩。可以预期：在经过⾜够多次渡越之后，能形成这样 ⼀种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返⼀次后能够“再现”出发时 的场分布，即实现了模的“⾃再现” 。 光学中的惠更斯菲涅尔原理是从理论上分析衍射问题的基础，该原理的 严格数学表⽰是菲涅尔基尔霍夫衍射积分。设已知空间任意曲⾯S上光波场 地振幅和相位分布函数为 ，由它所要考察的空间任⼀点P处。
3、场分布为 ) , ( y x u ，⼆者之间有以下关系式： ) , ( y x u S ik dS e y x u ik y x u ) cos 1 ( ) , ( 4 ) , ( 式中， 为 与 连线的长度，为S⾯上点 处的法线和上述连 ) , ( y x ) , ( y x ) , ( y x 线之间的夹⾓， 为S⾯上的⾯积元，k为波⽮的模。 s d 本⽂采⽤FoxLi数值迭代法实现了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾斜腔的 ⾃再现模的形成。 2. 实现⽅案 2.1 条形腔 条形腔是⼀种理想模型，即⼀个⽅向有限长，⽽另⼀个⽅向上⽆限延伸 的腔形，故只在长度有限的那个⽅向上发⽣衍射现象，迭代公式为⼀。
4、维的菲涅 尔基尔霍夫衍射积分：2 a a L x x ik ikL x d x u e e L i x u ) ( ) ( 2 ) ( 2 将条形腔的左镜⾯S上沿着 之间划分N-1等分，则有N个点，每 ) ( a a， 个区间为 。右边镜⾯P上每⼀点的求解都需将左边镜⾯上的点逐点计 ) 1 /( 2 N a 算⼀遍并相加，如此循环迭代下去，最终会达到稳态分布。 2.2 矩形腔 在矩形腔中， 与 连线的长度 可以表⽰为 ) , ( y x ) , ( y x ，经过计算与推导可知：矩形腔的计算不需 2 2 2 ) ( ) ( L y y x x 考虑整个⾯上的点的影响，可以按照 、 两个⽅向分离。
5、变量为 x y ，其中 的计算与条形腔相同。 ) ( ) ( ) , ( y u x u y x u ) ( ) ( y u x u 、 2.3 圆形腔 圆形腔的迭代思想与矩形腔相同，只是划分与矩形腔不同。圆形腔是按照 径向和⾓向划分，在极坐标(r,)下完成数值迭代，但在最后显⽰的时候，需 要将极坐标还原成笛卡尔坐标系。 具体思路是：由极坐标和直⾓坐标的转换关系，X=r COS，Y=r sin，其 中，r、为极坐标参量。将X、Y⽤相应的极坐标参量代换并代⼊衍射⽅程，得(4) 为了分离变量，对圆形镜谐振腔，其场分布函数经常采⽤如下形式：(5) 式中：p表⽰场分布在径向的变化；f表⽰场分布按⽅位⾓。
6、以不同的正弦或余 弦⽅式变化。将式(5)代⼊式(4)，可得：3 式中，右边积分可以分离为和r的积分，⽅括号内的积分可以仿照圆形 镜共焦腔来进⾏，利⽤积分关系 式中，J l 为l阶第⼀类贝塞尔函数。再将式(7)代⼊式 (6)，可以将⽅程(6) 化简为只含径向的本征⽅程： 数值迭代开始前需要给定初始的场分布尺，对TEM 00 模，设初始场分布为 均匀平⾯波，将0ra等分为N个点，令R 1 L (r)=1，即镜⾯上各点振幅均为1。 第q次迭代后，r1,r2,rN各点本征值为 2.4 倾斜腔 严格的平⾏平⾯腔只是⼀种理想情况，实际情况下出现⼀定的不平⾏性是不可避免的，这⾥主要考察倾斜条形腔对⾃再现模。
7、的影响，如图3所⽰：4 图3 倾斜平⾏平⾯腔的⽰意图 两个镜⾯相对其理想位置(即两镜⾯与其公共轴线严格垂直的位置) 沿相反 ⽅向偏离同样⼤⼩的微⼩⾓度, 在镜的边缘处与理想位置的偏离线度。在 甚⼩的情况下，且只考虑腔的旁轴光线，镜⾯上两点的距离M1M2与理想情况下相应两点的距离M1M2之差为: ，故 ， ) ( ) ( 2 1 2 1 x x a x x M M M M I ) ( 2 1 2 1 x x a M M M M 于是衍射积分⽅程变为：，类似于条形腔，可以计 a a x x a ik L x x ik ikL x d x u e e e L i x u ) ( ) ( ) ( 。
8、2 ) ( 2 算出倾斜条形腔的⾃再现模。 3. 实验结果与分析 3.1 激光谐振腔模式的各种分析⽅法的⽐较特征向量矩阵法，FoxLi数值迭代法、厄⽶⼀⾼斯展开法、快速傅⽴叶变 换法(FFT) 、有限差分法(FDM)和有限元法(FEM) 。特别是FoxLi数值迭代 ⽅法，它是⼀种模式数值求解中普遍适⽤的⼀种⽅法，只要取样点⾜够多，它 可以⽤来计算任何形状开腔的⾃再现模，⽽且还可以计算诸如平⾏平⾯腔中腔 镜的倾斜、镜⾯的不平整性等对模的扰动。其缺点是在菲涅⽿数F很⼤时，计算 ⼯作量很⼤。特
征向量法是对腔镜进⾏有限元单元划分的，构造光束传输矩阵，通过求解 特征矩阵的特征向量，即可获得腔镜光场分布的。
9、振幅和相位分布。矩阵运算时 间与矩阵维数有着近似平⽅的关系，⼆维衍射积分⽅程的传输矩阵的维数⾼， 计算需要数⼩时甚⾄数天的时间，对于⼤菲涅⽿系数的谐振腔计算难度更⼤。 3.2 菲涅尔数对结果的影响 对于条形腔，菲涅尔数F定义为： 。菲涅尔数越⼤，衍射损耗越 L a F / 2 ⼩。当谐振腔的菲涅尔数较⼤时，低阶模式和⾼阶模式的衍射损耗⾮常接近， 以⾄于⾼阶模在有限的迭代次数下不能有效地消除；⽽谐振腔的菲涅⽿数⽐较 ⼩时，⾼阶模具有更⾼的颜⾊损耗，从⽽更能有效地抑制⾼阶模振荡。下图依 次为条形腔菲涅尔数
F=0.9，2.5，10时，⾃再现模的振幅分布和相位分布的⽐ 较。5从图中可以看出，对于⼤菲涅。
matlab学好了有什么用10、尔数腔⽽⾔，振幅分布在镜边缘处的值很⼩, 相位分布在镜中⼼区域可近似看成平⾯波分布；菲涅尔数越⼩，场分布曲线上的 起伏越⼩，曲线越趋于平滑，振幅分布曲线越接近于标准⾼斯分布，相位分布曲 线则越接近于球⾯波分布。由于平⾏平⾯腔的基模振幅分布就是⾼斯分布，相 位分布越接近于球⾯波分布，故可以得出结论：在⼩菲涅尔数情况下，⾼阶模 的损耗⽐基模⼤得多。 3.3 腔镜的倾斜扰动对最终模式的影响 实际上的谐振腔很难做到完全平⾏，⽽是有⼀定的倾斜量。在计算的过程 中发现，当 时就很难达到稳态分布(本实验中，稳态分布的判据是： 50 / 归⼀化后，前后两次对应点的差值均⼩于0.0001) ， 、 、 100 。
11、/ 200 / 到达稳态分布的迭代次数分别为945、426、305，可见倾斜线度越⼤， 400 / 越难达到稳态分布。 3.4 圆镜腔与矩形腔的迭代输出结果的⽐较6 F=2.5，上图为矩形腔，下图为圆镜腔。 从图中可以看出，腔镜的形状决定了⾃再现模的分布情况。在腔镜中⼼附近，这两种腔的稳态分布都接近于平⾯波，且矩形腔的分布范围更⼤⼀些，这 是由于矩形腔的衍射损耗更⼤⼀些，更易达到稳态分布；圆形镜的横模形状为 圆形分布，⽅形镜的横模分布为“⼗字架”形状，⽽有⼀定长宽⽐的矩形镜的 横模分布为长条状，当长宽⽐趋于⽆穷时，分布便趋近于条形腔了。因此在实 际应⽤中，若要改变光束的横模分布或者控制光束质。
12、量，可以采⽤改变腔镜形 状的⽅法。 3.5 不同初始场分布的改变对⾃再现模的影响 在前⾯的讨论中，所有光场的初始分布均采⽤平⾏分布(即腔镜上每⼀点 的初始振幅、相位均相等) 。图7中展⽰了初始随机分布和平⾏分布的⽐较，上 ⾯三幅图依次为初始随机分布迭代0次、2次和稳态的振幅分布，下⾯三幅图依 次为初始平⾏分布迭代0次、2次和稳态时的振幅分布。上下⽐较可知，在只经 过2次迭代之后，⼆者的振幅分布就已经很接近了，因此最终的稳态分布也是⼀ 样的，条形腔、圆形腔的结果也是如此。由此可以知道，激光谐振腔的⾃再现 模的分布与光场的初始分布⽆关，只与腔的结构有关，这也解释了激光的起振 过程：初始光为由⾃发辐。
13、射产⽣的⾮相⼲光(相当于随机分布) ，在经过⽆数次 来回传播之后，形成特定的模场分布，即相⼲光。7 3.6 谐振腔各种参数的改变对迭代结果的影响 对于条形腔，主要参数为腔长L、波长、腔镜长
度a。这三个参数的改变 会引起菲涅尔数的变化，可见3.2中的解释，现在讨论在不改变菲涅尔数时，对 迭代结果的影响，取菲涅尔数F=6.25，只要菲涅尔数不变，改变L与a的相对⼤ ⼩对迭代结果⼏乎没有影响，可以这样解释：Fox_Li数值迭代法的原理是衍射 积分法，⽽菲涅尔数刚好衡量了衍射的情况，故在菲涅尔数不变的情况下，改 变谐振腔的参数，迭代的最终结果仍然保持不变。 3.7 其他情况对迭代结果的影响 其他还有很。
14、多因素对迭代结果有较⼤影响，⽐如划分点的个数、收敛判据 的考虑等等。对于划分点数，当然是越多越精确，最终误差积累的越少，但是 点数太多会降低运算速度，圆形腔的时候最明显，因此要选取适当的点数，兼 顾精度与效率：对于条形腔，经过试验发现，当划分点数⼤于30时，就能够得 到⽐较令⼈满意的迭代结果。本实验的收敛判据是：归⼀化后，前后两次对应 点的差值均⼩于0.0001；当然这个值可以取的⼩⼀些，减少迭代次数，也可以 ⼤⼀些，将稳定性条件设置的更加严格，试验证实，0.0001的判据⽐较合理。 3.8 设计体会和想法 MATLAB很强⼤，得好好学会使⽤这门科学计算的⼯具，尤其是在离散数字 化处理⽅⾯；理论素养很重要，如果激光原理没学好，写程序很容易出错；课 设考验能⼒，这次没太⽤⼼，但是这⼏天通宵达旦让我 颇有收获，虽然借鉴了 别⼈的⽅案和代码，但是⾄少都能看懂，并在前⼈基础上发挥改良。 。

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