Unity3D中的数学基础知识---向量
⼀、向量概念及基本定义
1、向量的数学定义
向量就是⼀个数字列表，对于程序员来说⼀个向量就是⼀个数组。
向量的维度就是向量包含的“数”的数⽬，向量可以有任意正数维，标量可以被认为是⼀维向量。
书写向量时，⽤⽅括号将⼀列数括起来，如[1,2,3] ⽔平书写的向量叫⾏向量 垂直书写的向量叫做列向量
2、向量的⼏何意义
⼏何意义上说，向量是有⼤⼩和⽅向的有向线段。向量的⼤⼩就是向量的长度（模）向量有⾮负的长度。
向量的⽅向描述了空间中向量的指向。
向量的形式：向量定义的两⼤要素——⼤⼩和⽅向，有时候需要引⽤向量的头和尾，下图所⽰，箭头是向量的末端，箭尾是向量的开始
向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移，例如2D向量列出的是沿x坐标⽅向和y坐标⽅向的位移。
3、向量与点
“点”有位置，但没有实际的⼤⼩或厚度，“向量”有⼤⼩和⽅向，但没有位置。所以使⽤“点”和“向量”的⽬的完全不同。
”点”描述位置，“向量”描述位移。
4、点和向量的关系：
任意⼀点都能⽤ 从原点开始的向量来表达。
⼆、向量运算
1、零向量
零向量⾮常特殊，因为它是唯⼀⼤⼩为零的向量。对于其他任意数m，存在⽆数多个⼤⼩（模）为m的向量，他们构成⼀个圆。零向量也是唯⼀⼀个没有⽅向的向量。
2、负向量
负运算符也能应⽤到向量上。每个向量v都有⼀个加性逆元-v，它的维数和v⼀样，满⾜v+(-v)=0。要得到任意维向量的负向量，只需要简单地将向量的每个分量都变负即可。
⼏何解释：向量变负，将得到⼀个和向量⼤⼩相等，⽅向相反的向量。
3、向量⼤⼩（长度或模）
在线性代数中，向量的⼤⼩⽤向量两边加双竖线表⽰，向量的⼤⼩就是向量各分量平⽅和的平⽅根
||v||=√(x^2+y^2) （2D向量v）
||v||=√(x^2+y^2+z^2) (3D向量v)
⼏何解释：在2D中的任意向量v，能构造⼀个以v为斜边的直接三⾓形，由勾股定理可知，对于任意直⾓三⾓形，斜边的长度平⽅等于两直⾓边长度的平⽅和。 ||v||^2 = x^2 + y^2
4、标量与向量的乘法
虽然标量与向量不能相加，但它们可以相乘。结果将得到⼀个向量。与原向量平⾏，但长度不同或者⽅向相反。
标量与向量的乘法⾮常直接，将向量的每个分量都与标量相乘即可。如：k[x,y,z] = [xk,yk,zk]
向量也能除以⾮零向量，效果等同于乘以标量的倒数。如：[x,y,z]/k = [x/k,y/k,z/k]
1. 标量与向量相乘时，不需要些乘号，将两个量挨着写即表⽰相乘。
2. 标量与向量的乘法和除法优先级⾼于加法和乘法
3. 标量不能除以向量，并且向量不能除以另⼀个向量。
4. 负向量能被认为是乘法的特殊情况，乘以标量-1。
⼏何解释：向量乘以标量k的效果是以因⼦|k|缩放向量的长度，例如：为了使向量的长度加倍，应使向量乘以2.如果k<0，则向量的⽅向被倒转。
5、标准化向量
对于许多向量，我们只关⼼向量的⽅向不在乎向量的⼤⼩，如：“我⾯向的是什么⽅向？”，在这样的情况下，使⽤单位向量⾮常⽅便，单位向量就是⼤⼩为1的向量，单位向量经常也被称作为标准化向量或者法线。
对于任意⾮零向量v，都能计算出⼀个和v⽅向相同的单位向量k，这个过程被称作向量的“标准化”，要标准化向量，将向量除以它的⼤⼩（模）即可。 k=v/||v||,v!=0;
零向量不能被标准化，数学上这是不允许的，因为将导致除以零，⼏何上也没有意义，零向量没有⽅向。
⼏何解释：2D环境中，如果以原点为尾画⼀个单位向量，那么向量的头将接触到圆⼼在原点的单位圆。3D环境中单位向量将接触单位球。
6、向量的加法和减法
两个向量的维数相同，那么它们能相加，或者相减。结果向量的维数与原向量相同。向量加减法的记发和标量加减法的记法相同。例如：[x,y,z] + [a,b,c] = [x+a,y+b,z+c]
减法解释为加负向量，a-b=a+(-b) 例如： [x,y,z] – [a,b,c] = [x-a,y-b,c-z]
向量不能与标量或维数不同的向量相加减。
和标量加法⼀样，向量加法满⾜交换律，但向量减法不满⾜交换律，永远有a+b = b+a，但a-b=-(b-a)，仅当a=b时，a-b = b-a
⼏何解释：向量a和向量b相加的⼏何解释为：平移向量，使向量a的头连接向量b的尾，接着从a的尾向b的头画⼀个向量。这就是向量加法的“三⾓形法则”。
计算⼀个点到另⼀个点的位移是⼀种⾮常普遍的需求，可以使⽤三⾓形法则和向量减法来解决这个问题，如： 上图 d-c 计算
出 c 到 d 的位移向量。
7、距离公式
距离公式⽤来计算两点之间的距离。从上⾯可以得知两点间的位移向量通过向量减法可以得知，既然得到了两点间的位移向量，那么求出位移向量的模，就能计算出两点间的位移。
8、向量点乘
两个向量相乘的结果是⼀个标量。此标量是等于两个向量长度相乘结果再乘上向量之间的夹⾓的余弦。当两个向量都为单位向量时，余弦的定义就表⽰为第⼀个向量在第⼆个向量上⾯的投影长度（或反之亦然 ，参数的顺序并不重要） 。
标量和向量可以相乘，向量和向量也可以相乘。有两种不同类型的乘法，点乘、叉乘
点乘的记法来⾄a·b中的点。与标量和向量的乘法⼀样，向量点乘的优先级⾼于加法和减法。标量乘法和标量与向量的乘法可以省略乘号，但在向量点乘中不能省略点乘号。向量点乘就是对应分量乘积的和。其结果是⼀个标量. [x,y,z] · [a,b,c] = ax+by+cz;
⼏何解释：⼀般来说，点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越⼤，两个向量越相近，点乘和向量间的夹⾓相关 计算两向量间的夹⾓ θ = arccos(a·b)
下⾯图标中的⼀些主要的余弦值是会经常⽤到的：
9、向量投影
给定两个向量v和n，能够将v分解成两个分量， 它们分别垂直和平⾏于向量n，并且满⾜ 两向量相加等于向量v，⼀般称平⾏分量为v在向量n上的投影。
平⾏分量公式： 平⾏分量 = n(v·n)/||n||^2
垂直分量公式: 垂直分量 = ||v|| – n(v·n)/||n||^2
10、向量叉乘
叉乘只能⽤来计算3D向量，它需要输⼊两个向量返回结果是另⼀个向量。得到的结果垂直于输⼊的两个向量。"左⼿坐标系"可以⽤来表⽰输⼊和输出的向量的⽅向。如果第⼀个参数匹配⼿的拇指和⾷指匹配第⼆个参数，结果将是中指的⽅向。如果参数的顺序是相反的结果向量将指向正好相反的⽅向，但将有相同长度。向量叉乘的结果的⼤⼩等于输⼊向量的乘积，然后通过它们之间的⾓度的正弦值乘以该值的⼤⼩。
向量叉乘得到⼀个向量，并且不满⾜交换律。 它满⾜反交换律 a × b = -(b × a) 叉乘公式：[x,y,z]× [a,b,c] = [yc-zb , za-xc , xb-ya]
当点乘和叉乘在⼀起时，叉乘优先计算， a · b × c = a·(b×c) 因为点乘返回⼀个标量，同时标量和向量间不能叉乘。
⼏何解释：叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。
a ×
b 的长度等于向量的⼤⼩与向量夹⾓sin值的积，||a × b|| = ||a|| ||b|| sinθ ||a × b||也等于以a和b为两
边的平时四边形的⾯积。
叉乘最重要的应⽤就是创建垂直于平⾯、三⾓形、多边形的向量。
11、标量乘法和除法
当我们讨论的向量，它常⽤他的标量作为⼀个普通的数字（例如，⼀个float值） 。这表⽰标量只有⼤⼩，⽽没有向量的⼤⼩和⽅向。
向量乘以⼀个标量⽅向和位置仍为原来的⽅向和位置。然⽽，新的向量的⼤⼩等于原来的⼤⼩乘以标量。
同样，标量的除法结果就是标量的⼏分之⼀。
向量代表⼀个移动或⼒时，这些运算是⾮常有⽤的。他们允许你改变向量的⼤⼩⽽不影响其⽅向。
任何向量除以他⾃⼰的⼤⼩，其结果是⼀个长度为1的向量，这被称为单位向量。如果⼀个单位向量乘以⼀个标量，那么结果的长度将标量的⼤⼩。当⼒的⽅向是不变的，但⼒是可控的时.这是⾮常有⽤的.（例如，⼀辆车的车轮的⼒总是向前的，但⼒的⼤⼩是由司机控制） 。
Tips:
点乘和叉乘的应⽤
点乘：两个向量点乘得到⼀个标量 ，数值等于两个向量长度相乘后再乘以⼆者夹⾓的余弦值 。如果两个向量a,b均 为单位 向量 ，那么a.b等于向量b在向量a⽅向上的投影的长度。
点乘后得到的是⼀个值：
若结果 = 0，则两向量互相垂直 。
若结果 < 0 ，则两向量夹⾓⼤于90°。
若结果 >0 ，则两向量夹⾓⼩于 90°。
数学数组的定义是什么叉乘：两个向量的叉乘得到⼀个新的向量 ，新向量垂直于原来的两个向量再乘夹⾓的正弦值。
叉乘后得到的还是⼀个向量：
在Unity3D⾥⾯。两个向量的点乘所得到的是两个向量的余弦值，也就是-1 到1之间，0表⽰垂直，-1表⽰相反，1表⽰相同⽅向。 两个向量的叉乘所得到的是两个向量所组成的⾯的垂直向量，分两个⽅向。 简单的说，点乘判断⾓度，叉乘判断⽅向。 形象的说当⼀个敌⼈在你⾝后的时候，叉乘可以判断你是往左转还是往右转更好的转向敌⼈，点乘得到你当前的⾯朝向的⽅向和你到敌⼈的⽅向的所成的⾓度⼤⼩。
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