专题06 向量专题（新定义）
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习） 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的()(),,,a m n b p q ==．令a
b mq np =−，下面说法错误的是（  ）
A ．若a 与b 共线，则0a b =
B ．a
b b
a =
C ．对任意的R λ∈,()
(
)
a b a
b λλ=,
D ．(
)()
2
2
2
2
a
b a b
a b +⋅=
【答案】B
【分析】根据给出的运算“⊙”的新定义，结合已知的向量的数量积公式及模长公式逐项判断即可. 【详解】若a 与b 共线，则有0a b mq np =−=，故A 正确；
b
a pn qm =−，而a
b mq np =−，a
b b
a ∴≠，故选项B 错误；
对任意的R λ∈，()()
,a b m n b mq np λλλλλ==−，
又a
b mq np =−，(
)
a b mq np λλλ∴=−，故C 正确；
(
)()
()()2
2
2
2
22222222a
b a b
mq np mp nq m q n p m p n q +⋅=−++=+++，
又()()2
2
数学数组的定义是什么222
222222222m n p
q m p m q n p n q =++=+++a b ，故D 正确.
故选：B.
2．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）定义2
a b a a b ⊗=−⋅.若向量()
2,5a =，向量b 为单位向量，则a b ⊗的取值范围是（    ） A ．[]0,6 B ．[]6,12
C ．[)0,6
D ．()1,5−
【答案】B
【分析】求得a ，设,a b θ<>=，整理可得a b ⊗为关于θ的关系式，进而求解. 【详解】因为()
2,5a =，所以(223a =+
=，
设,a b θ<>=，[]0,θπ∈，由向量b 为单位向量， 所以2
2331cos ,93cos a b a a b a b θ⊗=−⋅=−⨯⨯<>=−， 因为[]cos 1,1θ∈−，所以[]6,12a b ⊗∈， 故选：B
3．（2021春·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点O 和两个不共线的向量1e ，2e ，
由平面向量基本定理，平面内任何一个向量m 都可以唯一表示成1e ，
2e 的线性组合，12(,)m xe ye x y R =+∈，则把有序数组(,)x y 称为m 在仿射坐标系12;,O e e ⎡⎤⎣⎦下的坐标，记为(,)m x y =，在仿射坐标系12;,O e e ⎡⎤⎣⎦ 下，a ，b 为非零向量，且()11,a x y =r
，()22,b x y =r
，则下列结论中（    ）
①()1212,a b x x y y +=++ ②若a b ⊥，则12120x x y y += ③若//a b ，则1221x y x y =  ④12cos ,x x a b x y =+一定成立的结论个数是（    ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】利用向量的新定义结合向量的性质逐个分析判断即可
【详解】在仿射坐标系12;,O e e ⎡⎤⎣⎦下，设12,e e θ=，因为()11,a x y =r ，()22,b x y =r
，所以1112a x e y e =+，
2122b x e y e =+，所以()()111122a b x y e y y e +=+++，所以()1212,a b x x y y +=++，①正确；
若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以()()
()22
11122122121121212122a b x e y e x e y e x x e x y y x e e y y e ⋅=+⋅+=++⋅+，
()2
2
121121212122cos 0x x e x y y x e e y y e θ=+++=，故②不一定正确；
因为//a b ，所以存在唯一的实数λ，使得λa b =，则()
11122122x e y e x e y e λ+=+，所以12x x λ=，12y y λ=，所以1221x y x y =，所以③正确； cos ,||||
a b
a b a b ⋅〈〉=
，由②知，()22121121212122a b x x e x y y x e e y y e ⋅=++⋅+，所以④不一定正确， 所以正确的有2个， 故选：B
4．（2022·高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量(1,3),(3,1)a b ==−−，即为“等模整向量”，
那么模为“等模整向量”有（    ） A ．4个 B ．6个
C ．8个
D ．12个
【答案】D
【分析】把
.
【详解】因为
所以模为
1(1,7)a =，2(1,7)a =−，3(1,7)a =−，4(1,7)a =−− 5(7,1)a =，6(7,1)a =−，7(7,1)a =−，8(7,1)a =−−  9(5,5)a =，10(5,5)a =−，11(5,5)a =−，12(5,5)a =−−
所以模为12个. 故选：D
【点睛】在求向量模的有关问题时通常的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或=a a a •；
(2)a b ±＝2()a b ±＝222a a b b ⋅±+； (3)若a ＝(x ，
y )，则|a |.
5．（2017·四川广元·统考三模）对于n 个向量123,,,,n a a a a ，若存在n 个不全为0的示数123,,,
,n k k k k ，使
得：
1122330n n k a k a k a k a ++++=成立；则称向量123,,,,n a a a a 是线性相关的，按此规定，能使向量1(1,0)a =，
2(1,1)a =−，3(2,2)a =线性相关的实数123,,k k k ，则134k k +的值为（    ）
A ．1−
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【分析】由题可得1122330k a k a k a ++=，结合条件可得123123200(1)20k k k k k k ++=⎧⎨⨯+−+=⎩，即得.
【详解】由题可知1122330k a k a k a ++=，1(1,0)a =，2(1,1)a =−，3(2,2)a =，
所以123123200(1)20k k k k k k ++=⎧⎨⨯+−+=⎩，
两等式两边相加可得1340k k +=. 故选：B ．
6．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβ
αβββ
⋅=⋅，若平面向量,a b 满足0≥>a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且a
b 和b
a
都在集合|Z 2n n ⎧⎫
∈⎨⎬⎩⎭
中，则a b =（    ）
A ．1
2 B ．1
C ．3
2
D ．52
【答案】C
【分析】由题意可可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b =，2
t b a =，得2
1cos ,142mt θ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论． 【详解】解：2cos |Z 2a a b n a b n b b θ⋅⎧⎫=
=∈∈⎨⎬⎩⎭，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭
． 又由||||0a b >…，可设m ∈Z ，Z t ∈， 令2m a b =
，2
t
b a =，且0m t ≥> 又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2
1cos ,142mt θ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
， 对m ，t 进行赋值即可得出3,1m t == 所以322
m a b =
=． 故选：C ．
7．（2023·全国·高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是（    ）
A ．当60θ=︒时()1,2A 与()3,4
B 距离为B ．点()1,2A 关于原点的对称点为()1,2A '−−
C ．向量()11,a x y =r 与()22,b x y =r
平行的充要条件是1221y x y x = D
．点()1,2A 到直线10x y +−=【答案】D
【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设x 轴正方向的单位向量为1e ，y 轴正方向的单位向量为2e ， 对于A 选项：由已知得12,60e e =︒，所以1211112
2
e e ⋅=⨯⨯=. 由()()1,2,3,4A B 及斜坐标的定义可知12122,34OA e e OB e e =+=+，
()
2
1222AB OB OA e e e e =−=+=+22
221e e e e =+⋅+==
故A 选项正确；
对于B 选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点()1,2A ，则122OA e e =+，设()1,2A 关于原点的对称点为(),A x y '，则1212'2OA OA e e xe ye =−=−−=+， 由于12,e e 不共线，所以12x y =−⎧⎨=−⎩
，
故B 选项正确；
对于C 选项：11122122,a x e y e b x e y e =+=+，
若a 是零向量，则//a b r r
成立，同时110x y ==，所以1221x y x y =成立，
此时1221//a b x y x y ⇔=r r
；

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