1—1  代数式的恒等变换方法与技巧
一、代数式恒等的一般概念
定义1  在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2  如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。
两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但
x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3  把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2
时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设p
x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。
解：
原方程等价于222(0,0
x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩
2
22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩
222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33
p p p p --≤≤⇔≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤
。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧
恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。
1．分类变换
当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。
例1：当x取什么样的实数值时，下列等式成立：
（a
=（b
1
=；
（c
2 =。
解：
(0) m m
=≥
记方程左边为f(x)
，则()
f x=
1
1|1|1
221
2
x
x
≥
=+=
≤≤
由此可知，
当m=时，原方程的解集为
1
[,1]
2
；
当[0,
m∈时，解集为∅；
当)
m∈+∞时，
m
=，解得2
1
(2)
4
x m
=+。
即当)
m∈+∞时，原方程的解集为2
1
{(2)}
4
m+。
例2：在复数范围内解方程组222
555
3,
3,
3.
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
解：考虑数列*
,
n n n
n
a x y z n
=++∈N。不难证明此数列满足递推式
321
()()
n n n n
a x y z a xy yz zx a xyza
+++
=++-+++，其中
125
3,3
a a a
===。
利用基本恒等式，得2
12
1
()3
2
xy yz zx a a
++=-=，
3123
11
[()]
33
xyz a a a xy yz zx a
=--++=，∴{}
n
a的
递推式化为*
3213
1
33,
3
n n n n
a a a a a n
+++
=-+⋅∈N
由此得
432313543323
11
3349,331027
33
a a a a a a a a a a a a
=-+⋅=---+⋅=-
由
5
3
a=，得
3
10273
a-=，∴
3
数学数组的定义是什么3
a=。∴
3
1
1
3
xyz a
==。
综上所述知，原方程组等价于
3,
3,
1.
x y z
xy yz zx
xyz
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33
3310
t t t
-+-=的三根，此三次方程
即3
123
(1)0,1
t t t t
-=∴===，这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。
注：此题还可以利用三次单位根12ω=-
+的性质来解。 2．利用对称性 定义4  一个n 元解析式12(,,,)n f x x x  称为对称式，当且仅当对于任意的i ，(1)j i j n ≤<≤都有11(,,,,,,)(,,,,,,)i j n j i n f x x x x f x x x x ≡      。
由定义可知，对称式的各变元所处的地位相同，因此，一个对称式12(,,,)n f x x x  具有下列性质：
（1）若对于变元x 1，x 2，f 具有性质p ，则对于任意的变元,,i j x x f 也具有性质p 。
（2）对于x 1，x 2，…，x n 的任意排12,,,i i in x x x  ，有1212(,,,)(,,,)i i in n f x x x f x x x =  ，因此，对于讨论f 具有某一性质时，可不妨设12n x x x ≥≥≥ 。
定义5  一个n 元解析式称为轮换对称式，当且仅当x 2代x 1，x 3代x 2，…，x n 代x n-1，x 1代x n 时有12231(,,,)(,,,,)n n f x x x f x x x x ≡  。
显角，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x 2y+y 2z+z 2
x 是轮换式，但不是对称式。因此，对称式所具有的性质（1）、（2）对轮换式一般不成立。由轮换的特点，在解题中，为了方便起见，我们可指定变元中x 1最大（或最小）。
例3：设x ，y ，z>0，求证(x+y+z)5-(x 5+y 5+z 5)≥10(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)等号成立当且仅当x=y=z 。 证：令5555(,,)()()f x y z x y z x y z =++-++。易知(,,f x y z ）是对称式。
∵当x+y=0时，f(x ，y ，z)=0，∴()|(,,)x y f x y z +。从而()|,()|y z f z x f ++，
∴()()()|x y y z z x f +++。注意到f 是关于x ，y ，z 的五次齐次式，故可设 222(,,)()()()[()]()f x y z x y y z z x A x y z B xy yz zx =++++++++，令0,1,1x y z ===，
得2A+B=15。令1x y z ===，得A+B=10。因此，A=B=5。
∴222(,,)5()()()()f x y z x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++注意到,,0x y z >，
且222x y z xy yz zx ++≥++，得(,,)10()()()()
f x y z x y y z z x xy yz zx ≥+++++等号成立的条件为x y z ==。
例4：设a ，b ，c 是三角形的边长，证明222()()()0a b a b b c b c c a c a -+-+-≥并说明等号何时成立。 证：令欲证不等左边为(,,)f a b c ，则易证(,,)f a b c 为轮换式（非对称）。故可设,a b c ≥。注意到0b c a +->，则可先考虑将f 中分离出一个含b+c-a 的非负式子。事实上
222()()[()]()f a b a b b c b c c b b a c a
=-+-+-+-
2222()()()()(2)()()c b a b c a ab b c ab c a c b a b a b b c b c =-+---+--+-+-
再令222*()()(2)()()f ab b c ab c a c b a b a b b c b c =--+--+-+-
令a c =，有222*()()()0f bc b c c b c b b c b c =--+-+-=
令a b =，有2222*()()(2)()0f b b c b c b c b b c b c =--+--+-=
∴**|,|a c f a b f --。又*|b f ，∴*()()b a c a b f --+。注意到*f 关于c 是二次式，a ，b 是三次式，故可设*()()()f b a c a b xa yb zc =--++令b=c ，得22*()()[()]f ab a c b a c xa y z b =-≡-++， ∴()a xa y z b ≡++，∴0,1y z x +==令a=0，得22*()()f b c b c b c yb zc =-≡+，∴b c yb zc -≡+，∴1,1y z ==-。于是2**()()0f b a c a b c a f =-+-+≥。从而2*()()0f c b a b c a f =-+-+≥
显然，当且仅当a=b=c 时f=0。
注：对于*f ，也可直接通过提取公因式法来分解因式。事实上
1222*()(2)()()()()b f a c a c b a a c a c b a b c bc b c -⋅=--+-+---+-
22()(2)()[]
()(2)()()()
()[2()]
()[()()()]
()()()
a c a c a
b b
c a ab ac bc a c a c a b b c c a a b c a ac a a b ab ac bc b c a a b c b a a b c a b a a b c =---+---++=---+--+=--++--+=--+-+=--+- 3．逆推分析
从一个数学过程的结果出发，按与原来相反的程序去推求初始条件的方法叫做逆推分析法，它的特点是每一步逆推均可逆。由此可见，逆推分析法是证明恒等式的重要方法。
例5：设a ，b ，c ，d ，x ，y 为正实数，且满足,x ad bc xy ac bd y ab cd
+=+=+。求证： abx cdx ady bcy a b x c d x a d y b c y
+=+++++++++。 证：注意到,x xy y
的表达式有()()ab c d x cd a b x +++++ ()()()
()()()()()
ab c d cd a b x ab cd ab c d cd a b y ad bc ad b c y bc a d y =+++++=+++++=+++++
利用①式，将欲证等式两边通分化简，等价于
()()()()x a d y b c y y a b x c d x ++++=++++
②式左边=2()()()x a d b c xy a b c d xy +++++++
2()()()x ac bd x ab cd xy a b c d xy =++++++++
22()()x y y ad bc xy a b c d xy =+++++++
2[()()()]y x x a b c d a b c d =+++++++
()()y a b x c d x =++++②式右边。故原等式得证。
4．整体代换
把若干变元的整个式子换成一个新的字母，于是问题中的变元就减少了，有利于式的变形求解。 例6：求出所有四元实数组1234(,,,)x x x x 使其中任一数与其他三数的积之和都等于2。
解：根据题意，四元数组1234(,,,)x x x x 满足方程组；123423413412
41232,2,2,2.
x x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩易知，所有0(1,2,3,4)i x i ≠=。于是可作整体代换：令1234x x x x p =，则上述每一个方程均可写成如下形式2i i
p x x +=，即220i i x x p -+=（p≠0）
，解之得1i x =由于i x 是实数，故1p ≤。以下分两种情况讨论：
（1）若p=1，则1,1,2,3,4.i x i ==
（2）若p<1，则有三种可能：
（i ）
三个根为1
一个根为1
这时32(1(1(1p p ==⋅
21(1111p ⇔=⇔=⇔=。但这和p<1的假设矛盾。
（ii
）三个根为1
1
3
(1(1p =
22(11(1(1)p p =⋅⇔=<
113p ⇔-=⇔=-，故有一个i x 为3，其他三数为-1。
（iii
）两个根为1
1
222
(1(2p p ==，故p=1。这又和p<1的假设矛盾。
综上所述，原方程组共有五组不同的实数解： (1,1,1,1)(3,1,1,1),(1,3,1,1),(1,1,3,1)(1,1,1,3)------------。
6．重新组合
所谓重新组合是指把几个独立的式子依据某一运算组合成新的式子，其目的是使组合后的解析式变得简单，以便于问题求解。

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