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§1.1　集合
1.1.1　集合的含义与表示
第1课时　集合的含义
学习目标　1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点).3.记住常用数集的表示符号并会应用．
预习教材P2，完成下面问题：
知识点1　元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)漂亮的花可以组成集合．(  )
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．(  )
(3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的．(  )
提示　(1)×　“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．
(2)×　由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素．
(3)×　集合中的元素具有无序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是同一集合．
知识点2　元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a∉A
a不属于集合A
【预习评价】
思考　设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？
提示　3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.
知识点3　常用数集及表示符号
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
【预习评价】
(1)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(  )
A．3.14      B．－2
C．      D．
(2)若<x<，且x∈Z，则x＝________.
解析　(1)由选项知是实数，但不是有理数，故选D．
(2)大于且小于的整数为2和3，故x＝2或3.
答案　(1)D　(2)2或3
题型一　集合的判定问题
【例1】　下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4) 的近似值的全体．
解　(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．
规律方法　判断一组对象能否构成集合的依据
【训练1】　给出下列说法：
①中国所有的直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________(填序号)．
解析　②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．
答案　①③
题型二　元素与集合的关系
【例2】　(1)给出下列关系：①∈R；②∉Q；③|－3|∉N；④|－|∈Q；⑤0∉N.其中正确的个数为(  )
A．1      B．2      C．3      D．4
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
解析　(1)①②正确；③④⑤不正确．
(2)∵∈N，x∈N，∴当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时， <0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.
答案　(1)B　(2)0,1,2
规律方法　判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．
【训练2】　设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(  )
A．a∈M      B．a∉M    C．a＝M      D．a≠M
解析　判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵<2，∴a∉M.
答案　B
典例迁移
　题型三　集合中元素的特性
【例3】　已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值．
解　因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
【迁移1】　(变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围．
解　由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2.
【迁移2】　(变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a的值是什么？
解　由数学数组的定义是什么a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0.
规律方法　利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
课堂达标
1．下列能构成集合的是(  )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析　A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案　C
2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是(  )
A．－1∈A      B．－11∈A    C．15      D．32
解析　－11＝3×(－4)＋1，故选B．

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