《数学简史》知识提要
1 数学史的意义及研究对象：数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的产生、发展及其规律的科学。主要对象包括：重要数学成果、重大数学事件和重要数学人物，及其与社会、政治、经济和一般文化的联系。
2 数学文化的特点  数学史在整个人类文明史上有着特殊地位，这是由数学的文化特点决定的。数学文化特点有以下几个方面：（1）数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。（2）数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。（3）数学是创造性活动的结果，追求艺术和美的特征。
3历史上对数学的认识：亚里斯多德：量的科学；笛卡儿：顺序与度量的科学；恩格斯：空间形式与数量关系；美国学者：关于模式的科学。
第二章 古代希腊数学  主题：论证数学的形成与发展
1论证数学的开端 ：论证数学的鼻祖：泰勒斯（前625－前547）和毕达哥拉斯（前580－前500）。
（1）泰勒斯：发现了许多几何命题（圆被直径平分……）；开创了几何命题的逻辑论证；天文测量。他的逸闻趣事具有很好的教育意义。
（2）毕达哥拉斯及其学派致力于哲学与数学的研究，提出了“万物皆数”是信念，推动了证明的逻辑信念的形成。  主要成果：发现毕达哥拉斯定理及其数组；几何定理的证明；正多边形（正五和正十边形）与正多面体作图；形数（把数看成形进行研究）；完全数（一个整数互为另一个的不包括自身的因数之和）；亲和数（两个整数互为另一个的因数（不包括自身）之和）；不可公度量（实质是证明了是无理数）的发现。（注：什么是“可公度量”？对于任何两条给定的线段，总能到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。这样的两条线段为“可公度量”，即有公共度量的度量单位。这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反映。）
3亚历山大时期（全盛时期） 主要代表人物：欧几里得、阿基米德和里奥斯
（1）欧几里得： 主要代表作《原本》（又称为《几何原本》）。他用公理化方法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书分为13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。《原本》是数学史上的一座理论
丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的确立，即公理化思想。（注：现代的公理化方法的确立是希尔伯特19世纪末完成的）。《原本》成为最广泛流传的的学术著作，影响深远。《原本》不仅是传世的教育经典，而且成为后世的学术典范。
《原本》的公理化思想：公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理——公理或公设。这就是所谓的公理化思想。
（2）阿基米德：著作众多，成就涉及数学、力学（被称为：“力学之父”）和天文学。数学著作集中探讨面积和体积计算相关的问题：阿基米德公式（海伦公式）；椭圆面积；球表面积；用“平衡法”求球的体积公式（最早的）。
丢番图：《算术》用纯分析的途径处理数论（不定方程）与代数问题（符号化），是希腊算术与代数成就的最高标志。
阿拉伯数学 范围指8－15世纪阿拉伯帝国统治下的整个中亚和西亚地区的数学。阿拉伯数学的突出成就表现在代数学方面。
1花拉子米（约783－850）（花拉子米是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家）：著作《还原与对消计算概要》（通称《代数学》）。《代数学》具有重要意义：给出了“代数学”名称，最早探讨代数方程的一般解法，建立了解方程的方法，标志了代数学的诞生。《印度计算法》，系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。
2奥马.海亚姆（1055－1092）：《还原与对消问题的论证》（简称《代数学》），开平方、开立方算法，最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程。
3纳西尔.丁：开高次方的一般性算法。4三角学与几何学：阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数表的编制。
第五章 文艺复兴前后欧洲数学  主题：向近代数学的过渡
先声  斐波那契（1170－1250）：著作《算盘书》（《算经》），这是具有东方彩的名作汇集了源自古代中国、印度和希腊数学问题。书中介绍了完整的印度-阿拉伯数码，对欧洲数学发展影响很大。书中提出了著名的“斐波那契数列”：1,1,2,3,5,8……，其中，。
代数学的进步 三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就。
1三、四次方程代数解法的突破过程：费罗（1465－1520）1515年发现那形如的三次方程的代数解法；塔塔尼亚发现形如的解法；卡尔丹（1501－1576）在1545年出版《大术》（《大法》）（Ars Magna），介绍了三次方程的代数解法；卡尔丹学生费拉里解决了一般的四次方程求解，不久也被写入《大术》中。  五次及以上代数方程求解问题，在经历了欧拉，拉格朗日等努力下，要等到19世纪，有阿贝尔、伽罗瓦等人才彻底解决，并引导代数学进一步变革。 1572年，意大利数学家邦贝利引进了“虚数”，进一步，荷兰数学家吉拉德1629年提出了“代数学基本定理”，即对于n次多项式方程，如果把“不可约”（复数）根考虑在内，并包括重根，则应有n个根。数学数组的定义是什么1799年，这个定理才由高斯第一次给出实质性的证明。
2数学符号化在近代的发展过程：数学符号系统化首先归功于法国大学数学家韦达，他第一次有意识系统地使用代数字母和符号，区分了算术与代数。吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德的《实用分析术》继承了韦达的做法，推动了数学符号的推广和流行。笛卡尔对韦达所使用的代数符号进行了改进。到17世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学符号使数
学问题具有一般性，并广泛创造了大量的符号。不过，经过历史的检验和淘汰，才最终形成大家所普遍认可的符号，并且具有精确的数学含义，以至于今天数学语言被作为世界普遍使用的符号语言。
3代数学符号化的意义：代数学符号化，是推动数学向近代数学发展最关键的要素，它使得代数学的性质发生了根本的变化。符号化体系的建立，才使代数有可能成为一门科学。近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，符号成为现代数学的基本工具，也是数学学习的基本内容。数学符号化不仅体现了数学学科的高度抽象与简炼，而且也是人们把握数学思想，推动数学思维发展必不可少的工具。
4 韦达（1540－1603）的成就：著有《分析引论》（1591）、《论方程的整理与修正》（1615）、《有效的数值解法》（1600）等方程论著作。这些著作探索了很多代数方程的成果，这些成果成为后来关于高次代数方程探索的起点。
第六章 解析几何的诞生
主题：解析几何的诞生 近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究
已变成自然科学的中心问题。变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明。 解析几何的发明归功于法国数学家笛卡儿和费马。
解析几何的基本思想： 在平面内引进“坐标”的概念，把平面上的点和有序实数对（x,y）之间建立一一对应的关系，即：每一对实数（x,y）都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标（x,y）。这样，可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。简要地说，在平面上引进“坐标”运算，点与实数对对应，方程与曲线对应，将几何问题化为代数问题，用代数方法研究几何曲线性质。
解析几何的重要意义：
（1）解析几何使运动与变化的定量表述成为可能，为解决当时科学问题准备了数学工具。
（2）解析几何用代数方法来研究几何问题，突破了欧氏几何方法的局限，为几何进一步发展开辟了道路。
（3）解析几何的诞生，标志近代数学的诞生，变量开始进入数学。
（4）解析几何作为研究变量的工具，为微积分创立奠定了基础。     
第七章 微积分的创立    主题：微积分的创立 
萌芽与酝酿：
1 早期的的微积分思想：古希腊和中国有用无限小过程计算特殊形体的面积、体积和曲线长的例子，都是早期的积分思想和方法。如古希腊的“穷竭法”，阿基米德“平衡法”求球的体积，祖冲之求球的体积公式等。另外，古希腊也尝试过求曲线的切线等微分问题。
2 近代酝酿：17世纪上半叶自然科学的发展，使微分学的基本问题成为人们关注的焦点。
创立：
1 牛顿（1642－1727）贡献：牛顿一生为近代科学奠定了四个基础：一是创立了微积分，为近代数学奠定了基础；二是进行光谱分析实验，为近代光学奠定了基础；三是建立力学三大定理，奠定了经典力学基础；四是发现了万有引力定理，为近代天文学奠定了基础。牛顿被誉为“有史以来最伟大的科学家”。
（1）牛顿创立微积分的过程：1664年，牛顿对笛卡儿《几何学》中“圆法”发生兴趣并试图寻更好的方法，这构成了他创立微积分的工作起点。1665年夏至1667年春，在家乡躲避瘟疫期间，牛顿创立了微积分。1665年11月，发明了流数术（微分法）；次年5月又建立了反流数术（积分法），1666年10月，牛顿写成《流数简论》，在同事中传阅。这是历史上第一篇系统的微积分文献。 《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景，此文以速度形式引进了“流数”（即“微商”），并提出了微积分的基本问题。 后来，牛顿不断改进、完善自己的微积分学，先后写成了三篇微积分论文：《运用无限多项方程的分析》（简称《分析学》）（完成于1699，发表于1711），《流数法与无穷级数》（完成于1671，发表于1736（去世之后）），《曲线求积术》（完成于1691，发表于1704）。三篇论文反映了微积分学说的发展过程，并对于微积分的基础先后给出不同的解释。牛顿的积分学说最早公开表述在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》中。 
（2）意义：牛顿将自古希腊以来将求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术即微分与积分，并将他统一的算法应用于当时各种重要的微积分问题（多达16类问题），展示了他的算法具有极大的普遍性和系统性。另一方面，牛顿将面积计算与求切线问题的互逆关系明确作为一般规律揭示出来，证明了二者的互逆关系，并将
其作为建立微积分普遍算法的基础，从而将这两类运算进一步统一成整体。
2 莱布尼茨（1646－1716）的贡献： 德国数学家、科学家和哲学家，被誉为17世纪的全才。 1672年—1676年，莱布尼茨派往巴黎作外交官，这四年奠定了他的学术基础。 他著作涉及数学、力学、机械、地址、逻辑、哲学、法律、外交、神学和语言学。在数学上，除了微积分，还发明了二进制（1679年撰写《二进制算术》）、行列式、提出了符号逻辑的思想，以电脑了布尔、罗素等人的数理逻辑。他还制作了世界上第一台能做四则运算的计算机。

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