初二数学勾股定理的逆定理知识精讲 人教义务几何
【学习目标】
1．能熟练地说出勾股定理的逆定理．
2．会应用逆定理判定一个三角形是否是直角三角形．
3．学会通过代数运算证明几何问题的方法．
【主体知识归纳】
1．勾股定理的逆定理  如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．直角三角形的判定  判定一个三角形是直角三角形，一是利用定义，即证明三角形中有一个角是直角，二是利用勾股定理的逆定理．
【基础知识精讲】
1．本节主要是勾股定理的逆定理及其应用，它与勾股定理都是初中阶段所学数学的重要思想——数形结合思想的重要体现．判断三角形的形状是本节命题热点，它常与完全平方公式相配合，通过代数法来证明几何问题．
2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数)，勾股数是一种重要的数组，勾股数可以用试验的方法．实际上，人们已证明了许多公式，用公式很容易出许多组勾股数．例如在△ABC中，三边长分别为a、b、c，其中a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，只要用n＞1的正整数代入公式即可．
【例题精讲】
［例1］如图3—224，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h．求证：
(1);(2)a＋b＜c＋h;(3)以a＋b，h，c＋h为边的三角形是直角三角形．
证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴S△ABC＝AB·CD＝AC·BC．
∴AB·CD＝AC·BC，即ch＝ab，
∴．
(2)∵(c＋h)－(a＋b)＝(c＋)－(a＋b)＝
∵c＞a，c＞b，∴(c＋h)－(a＋b)＞0，∴c＋h＞a＋b，即a＋b＜c＋h．
(3)∵c＋h＞a＋b，c＋h＞h，
∴(c＋h)2＝c2＋2ch＋h2＝a2＋b2＋2ab＋h2＝(a＋b)2＋h2．
∴以a＋b，h，c＋h为边的三角形是直角三角形．
说明：本题综合考查几何问题的代数解法，其关键是掌握面积公式、不等式等代数知识．
［例2］如图3—225，南北向MN数学数组的定义是什么为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A艇发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意，反走私艇A通知反走私艇B：A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里，反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海?
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，
又∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°．
由于MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE．
①－②得CE＝≈0．85(小时)＝51(分)，
∴9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．
说明：用勾股定理及逆定理也可以解决诸如上例类似实际问题．
【同步达纲练习】
1．填空题
(1)若一个三角形三边满足c2－a2＝b2，则这个三角形是__________
(2)△ABC的三边a＝1．2 cm，b＝1．6 cm，c＝2 cm，则∠C＝__________．
(3)已知三角形的三边分别是m2－1，2m，m2＋1，则最大角是__________
(4)四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA各边长顺次为3，4，13，12，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为__________
(5)有一个三角形两边长为4，5，要使三角形为直角三角形，则第三边为__________
(6)设a＞b，如果a＋b，a－b是三角形较小的两边，当第三边等于__________时，这个三角形为直角三角形．
(7)如图3—226，在Rt△ABC中，E是斜边AB上一点，把△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合，如果AC＝4 cm，那么AB＝__________cm．
(8)如图3—227，∠ADB＝45°，BD＝1，把△ABD沿直线AD折叠过去，点B落在点
B′的位置，标出B′的位置，则BB′的长为__________
(9)如图3—228，AD是BC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折过来，点C落在点C′的位置，如果BC＝4，那么BC′的长等于__________
(10)已知四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是一个直角三角形；那么AD的长等于__________
2．选择题
(1)已知在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，则三角形为
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
(2)下列各组能组成直角三角形的是
A．4、5、6
B．2、3、4
C．11、12、13
D．8、15、17
(3)三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为
A．6
B．4.5
C．2.4
D．8
(4)下列命题中，假命题是
A．三个角的度数之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为1∶∶2的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为1∶∶2的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为∶∶2的三角形是直角三角形
(5)在△ABC中，D是BC上一点，若BD＝5，AB＝13，AD＝12，AC＝15，则△ABC的面积是
A．30
B．42
C．84
D．100
(6)一个三角形三边长分别为20，15，25，那么它的最长边上的高为
A．12．5
B．12
C．
D．9
(7)△ABC三边a、b、c满足｜a＋b－50｜＋＋(c－40)2＝0，则△ABC为
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．无法确定
3．如图3—229，CD是△ABC边上的高，且D在边AB上，有CD2＝AD·DB．求证：△ABC是直角三角形．
4．a、b为任意正数，且a＞b．求证：边长为2ab，a2－b2，a2＋b2的三角形是直角三角形．
5．已知△ABC的三边之比为5∶12∶13，求证：△ABC为直角三角形．

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