第17讲 勾股定理
几何学有两大珍宝，其一是毕达哥拉斯定理，另一个是分一线段为中外比。前者我们可比之为黄金，后者，我们可称之为贵重的宝石。                                                   
——开普勒
知识方法扫描
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
    勾股定理的逆定理：即如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用。它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算是一种重要的数学方法。
勾股定理的逆定理常用来证明两条直线互相垂直。
经典例题解析
例1．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．
分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形
的斜边，因此考虑从勾股定理入手．
证明  由勾股定理得
AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，
所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
例2．（1988年上海市初三数学竞赛题）如图，在凸四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是_____ ．
解 连结AC，设AB=2k，则BC= 2k，CD=3k，DA=k.
在Rt△ABC 中，
在△ACD中．,
例3．（2001我爱数学初中生夏令营试题）点D、E分别为△ABC的边AC和BC上，∠C为直角，DE∥AB，且3DE＝2AB，AE＝13，BD＝9，那么，AB的长等于________。
解  由DE∥AB，得
记＝k，＝m，则有
CE＝2k，CB＝3k，CD＝2m，CA＝3m。
因∠C为直角，故由勾股定理，得
CE2＋CA2＝AE2，CD2＋CB2＝BD2，即
两式相加，有k2＋m2＝
因此AB2＝BC2＋CA2＝9k2＋9m2＝
于是AB＝
评注 设比例因子k与m，可使线段用长度表出，以便利用勾股定理求出线段之长。
例4．(2003第1届“创新杯”数学邀请赛试题)在直角三角形ABC中，∠C=90º，I是ΔABC的三条内角平分线的交点，过I作ID⊥AB于D，若BD=m，CD=n，那么ΔABC的面积为        .
解 因I是ΔABC的三条内角平分线的交点，故I到三边
的距离相等，作IE⊥AC，IF⊥BC，显然△AID≌△AIE，△BID≌△BIF，△CIF≌△CIB，于是BF=BD=m, AE=AD=n.
设 CE=CF=r，因AC2+BC2=AB2，故(n+r) 2+(m+r) 2=(m+n) 2.
化简得 r2+mr+nr=mn.
ΔABC的面积=(m+r)(n+r)=(mn+mr+nr+r2)=(mn+mn)=mn.
例5．( 2003年北京市中学生数学竞赛试题)一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长。
解 设a，b分别为两个直角边，则斜边c=，由于a,b,c均为正整数，所以a≠b，不妨设a>b. 依题意有
a+b+=，
两边平方整理得：，
消去ab，得。即 (a-4)(b-4)=8=8×1=4×2。
由于a,b为正整数，a>b, 则或
所以a=12, b=5, c=13或 a=8, b=6, c=10.
例6．（2002年上海初中数学竞赛试题）若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m
的取值范围是________。
解  设Rt△ABC（∠C＝90°）的两直角边BC＝a，AC＝b，则BC边上的中线长为，AC边上的中线长为，依题意，得
m＝＝， 即m2＝，亦即＞0。
所以（4m2－1）（m2－4）＜0，解得＜m2＜4，故＜m＜2。
例7．如图,AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
证明  过A引AD⊥BC于D．由勾股定理，
AB2=AD2+BD2=AD2+(BM+MD)2=AD2+BM2+2BM•MD+MD2
AC2=AD2+CD数学数组的定义是什么2=AD2+(MC-MD)2= AD2+MC2-2MC•MD+MD2．
注意到 BM=CM， 故
AB2+AC2=2AD2+2BM2+2MD2=2(AD2+MD2)+2BM2=2(AM2+BM2)．
评注 (1)如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
,
,
(2)涉及到含有线段的平方证明题，在初二的学习范围内，多是用勾股定理作为工具来证明
的。在解答此类问题时所用的辅助线，最常用的是作三角形的高，有时还要用到某些几何变换，如平移，旋转，对称等等。
例8．（1978年中国科学技术大学少年班入学试题）设M是△ABC内任意一点，MD⊥AB,ME⊥BC,MF⊥CA,又BD=BE，CE=CF,求证:AD=AF.
 
分析 这里有很多垂线，很自然地想到勾股定理。
证明  如图，连结MA，MB，MC。由条件中的垂直关系，有
AD2 = DD12+AD12 = BD2-BD12+AM2-MD12
= AM2 +BE2-( BD12+ MD12)
= AM2 +BE2- BM2= AM2 +BD2-( ME12+ BF12)
= (AM2- ME12)+( BE2- BF12)= AM2- ME12+ EE12.
同理可证 AF2 = AM2- ME12+ EE12，    于是AD2 = AF2，AD=AF.
    评注  更进一步，可以把已知的等式BD=BE，CE=CF改为不等式BD≤BE，CE≤CF，结论则变为AF≥AD。
同步训练
一 选择题
1．(1993年吉林省初中数学竞赛试题)在△ABC中，则△ABC的面积为（    ）
(A) 10    (B) 10    (C) 12.5    (D) 15
2．(2002年四川省初中数学竞赛试题)如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（      ）

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