吴文俊：中国数学史的新研究
内容来源：本文为吴文俊1986年在国际数学家大会上的报告，英文原稿收入Proceedings of the International Congress of Mathematicians Berkeley, California, USA, 1986 第2卷, pp. 1657—1667. 中译文原载于《自然杂志》第12卷第7期，王志健译。
图片来源于网络
作者：吴文俊（1919-2017）
一、引言
我们将仅限于讨论中国传统数学，即从远古至14世纪。近年来，国内外学者对此进行了许多卓有成效的研究，从而对中国传统数学的真髓有了相当深刻的认识。笔者将随意引用他们的研究成果，但对在本文表述的观点，则负完全责任。
我们的研究必须遵循两项基本原则。
原则一 引出的所有结论都必须依据幸存至今的原始文献。
原则二 引出的所有结论都必须依据我们祖先的特有方式去论证。应用的知识、所用的辅助手段和方法都仅仅限于古代。
根据原则一，在以后的叙述中，我们要反复引用下列文献：
《九章算术》，于公元50年明确成型；
《九章算术注》，刘徽，公元263年；
《海岛算经》，刘徽，公元263年；
《数书九章》，秦九韶，公元1247年。
根据原则二，我们强调，在代数和几何的推演中，不得使用代数符号演算，不得添加平行线，因为在中国传统数学中没有这些手段。事实上，中国传统数学有着自己的发展路线、思维方式和表达风格。它与作为希腊遗风的西方数学不仅毫无关联，而且差别极大。在详尽具体研究中国传统数学的成就之前，我们先指出它的几个特点。
第一，中算家不用笔算，而用算筹在筹算盘上作筹算。中算家很早就发明了完善的十进位制记数法，这就使得把算筹排在筹算盘上的适当位置上表示整数成为可能。尤其是，在十进位值制记数法中，只要在某个恰当的位置上留一个空位便能很好地将0表示出来。其实“数学”在中国历来称为“算术”，它的意思是“计算的方法”。
第二，中国传统数学的成果通常表达为分类问题集的形式，每个问题则分为若干条目。条目一是“问”，即带数据的实际问题陈述。条目二是“答”，给出这问题的数字解。条目三是“术”，即得出结果的方法，常常就是我们今天所说的“算法”，有时也是公式或定理。要注
意，条目一中的数据在算法中不起多大作用，方法则具有普遍意义，在问题中可以任意替换为其他数据，条目一仅仅起着举例的作用。条目四是“注”，说明条目三中算法的根据及理由。宋代以后，往往添加了一个条目五，“草”，它包含了获得最后结果的详细运算过程。
二、数论
本节中，我们所谈到的整数指的是都是正整数。
中国传统数学没有素数和因子分解之类的概念。然而，它有求两整数的最大公约数——称为“等”——的方法，就是“更相减损术”。算法始下：
“以少减多，更相减损，求其等也。”
例如24与15的等是3，就是按下述方法求得的：
正如刘徽在《九章算术注》中指出的，这个算法的原理是：在运算过程中，整数逐步减小，但其等却始终保持不变。
尽管实际上在我国古代从未引入素数概念，但中算家却在数论研究中取得了非凡的成就。我们介绍其中两项，它们是中国南京大学莫绍揆和西北大学李继闵的研究成果。
在中国传统数学发展的漫长岁月中，勾股形——直角三角形——是一个颇受宠爱的研究对象。尤其是，可以作为勾股形中勾、股、弦——短直角边、长直角边和斜边——的长度的三元整数组，在典籍《九章算术》中已被完全确定。在第九章勾股章中，列出了8个这样的三元数组：
（3，4，5），（5，12，13），
（7，24，25），（8，15，17），
（20，21，29），（20，99，101），
（48，55，73），（60，91，109）。
列出这三元数组绝非凑巧，实际上，在这章的问题十四中已经包含了一个求这种一般形式的三元数组的方法。我们把此题抄录如下：
“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲乙行各几何。”
解题的“术”是这样的：
“令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为东行率。”
在第一节中我们已经指出，特殊数值7和3在问题中仅仅起着举例说明的作用，完全可以用任意一对整数m、n（m>n>0）来代替这两个数。“术”就是说，三条边有这样的比率：
前列的8个三元数组完全可以由下列整数对用这个方法定出来：
（m，n）=（2，1），（3，2），（4，3），（4，1），（5，2），（10，1），（8，3），（10，3）。
数学数组的定义是什么在刘徽的《九章算术注》里，对几何性质所作的证明依据了一个普遍原理：出入相补原理，第三节要对它作详细说明。在这里我们要指出，刘徽的证明同时显示了，m:n实质上就是（勾+弦）对股的比率，只要勾:股:弦的比率为整比率，m:n也为整比率。
作为第二个例子，我们来讨论“求一术”。众所周知，当今它被称为“中国剩余定理”。新近的研究表明，这种算法是自汉代以来编历时开创的，沿着十分清晰的路线，发展为1247年秦九韶《数书九章》中的形式。在秦九韶著作的序言里，他说，《九章算术》没有这个方法，也没有人知道怎样推演它，但是编历者却广泛运用它。《数书九章》第一卷首先阐明了这个方法。此章有9个问题，包括历表编制、河堤修筑、财物计算、租税分配、谷物出售、军队计点、土木建筑，甚至还有一个盗窃追赃的案例。所有这些题目都化归为一个问题，用现代符号写出来就是：
其中Uj, Mj为已知数，U则为待求，整数被秦九韶称为“定母”（模数），即固定分母的意思，它们不必是两两互素的。秦九韶首先反复应用更相减损术把问题化归为模数两两互素的情形，因此我们在下面的讨论中可以只限于Mj两两互素的情形。
按现代数学，(2.2)的解可沿下述方法求得（可参见Knuth的《计算机编程艺术》第二卷250页）。
记 φ(N) 为整数N的Euler函数，可通过把N分解为素因子来求出它。令
则(2.2)的解由下式给出：

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。