第35卷第1期
哈尔滨师范大学自然科学学报
NATURAL SCIENCES JOURNAL OF HARBIN NORMAL UNIVERSITY
Vol.35,No.12019
Hermite矩阵张量积空间上保持
秩可加和秩和最小的线性映射**
收稿日期:2018-11-02
*基金项目：国家自然科学基金(11701075) **通讯作者：zhangyangmath@163 高乐乐，张杨…，徐金利
(东北林业大学)
【摘要】在给定的集合上研究保持某种不变量的映射的问题被称为保持问题，该问题已成为矩阵理论中的一个核心研究领域.主要刻画了Hermite矩阵张量积空间保持秩可加和秩和最小的线性映射.
［关键词】张量积；线性映射；秩可加；秩和最小；保持;Hermitie矩阵
中图分类号:0151文献标识码：A文章编号:1000-5617(2019)01-0001
0引言
设f为任一数域，y是域f上给定的矩阵空间.对任意M e V,/?(4)表示矩阵A的秩.若矩阵对血B e V满足R(虫+B)=/{(A)+R(B)或+B)=1/?(幻-R(B)丨，则称/1与B满足秩可加或秩和最小.对y上的线性映射e及v中的矩阵对4,B，由+B)=R⑷+R(B)推出R^A+B)=R©(A)+R©(B)，则称少保持秩可加；由R(A+B)=1/?(4)-R(B)1推出R(f>(A+B)=1/?</>(A)-R0(B)I，则称少保持秩和最小.
很多学者刻画了一般的矩阵空间上保持秩可加和秩和最小的线性映射.如Alexander Guteran⑴和Beasley等⑵分别刻画了n阶矩阵空间和mxn矩阵空间上保持秩可加和秩和最小的线性映射，张显进一步推广了文献［2］的结果⑶•之后张显研究了“X”对称矩阵空间上保持秩可加和秩和最小的线性映射"，唐孝敏等刻画了Hermite矩阵空间上保持秩可加和秩可减的线性映射⑸•
张量积矩阵空间.作为一种特殊的矩阵空间，对量子信息科学的发展起到了一定的推动作用同，因此研究张量积矩阵空间上的保持问题就显得尤为重要•关于张量积矩阵空间上的保持问题，研究成果不是太多■Yuting Ding等研究了Hermite矩阵张量积空间上保持行列式的线性映射⑺，Xu J等等给出了Hermit
e矩阵张量积空间上保持秩1的线性单射⑻•这些成果为后续的研究奠定了基础.该论文刻画了Hermite矩阵张量积空间上保持秩可加和秩和最小的线性映射，丰富了Hermite矩阵张量积空间上保持问题的成果.
2哈尔滨师范大学自然科学学报2019年第35卷
1预备知识
令M”””表示域F上全体m x n矩阵所组成的集合当m=n时，将叽旳简记为M”.H”指M”中Hermite矩阵全体,4*表示矩阵A的共辄转置,R*代表全体非零实数的集合,C代表全体复数的集合,C*代表全体非零复数的集合.场表示(i,j)位置是1其余位置是0的矩阵，阶数由上下文确定.r表示//…,®-®H nk中秩为1的全体Hermite矩阵张量积所组成的集合.
令®表示中满足秩可加的全体Hermite矩阵张量积组成的集合,®-表示H,”®®H nt中满足秩和最小的全体Hermite 矩阵张量积组成的集合.
对任意九g H n(i=1，若77(出®••-®A t)=T1(虫1)®••-®T*(A t)，则称H”]®上的线性映射77为典范映射.其中
是恒等映射或转置映射，且简记77=7,®•■-®T k-
该文的两个定理需要用到以下的定理和引理
定理1⑻设1,®,…，®m2,，则线性单射映射••⑧保持矩阵张量积的秩为1，即
R<l>(Ai(x)••-®A t)=(x) (x)
A))= 1.
当且仅当存在可逆矩阵TeM”，入e j-l,l|及±的典范映射"使得
"(X)0]*
=AT厂，HX»”©•••
S0」
其中m t•••m l W n.
引理1设A x®••-®A k,B i®®B k g H nt则对任意/i e C,
e6)当且仅当(4®-®A k, h®®-®BJ)e0.
证明由矩阵的秩的性质可立刻推出该结论.
定理2已知0：/®••鸥…®%是线性映射•若对于任意/1.®-04,
e H”®..©%当
R(A t®+B t®―®BJ=
/?(A,®-®4)+/?(B,®-®BJ
成立时有
®•■-®A k+B,®••-®BJ)= R(e(4®・®Q)+«(</>(«,
则e=0，或存在可逆矩阵T e
A e{-1,1)及H n>®-®H nk上的典范映射使得
<HX)=A7'tt(X)T-,VJ e H ni®-®H…k
证明分为两种情形讨论.
情形I：假设线性映射Q不是单射.
易知存在秩为s(sMl)的矩阵e
使得
</>(力]®…®A h)=o
为了讨论方便，令几=叫，且
n\n i'n k
0、
00
其中»=衍...](叭g…g&i)，知..."G
不失一般性，可假设
</>(X仏)=0
i=I
b nn>
R\
(I)
由(论，5>,)e®可得(旅»)邸(丫瓦))e t=2i=2
®即
r(彷(X%)=R(e(»)+(e(Y5))= i=l i=2
R($(bJ+«(</>(£/>…))
i=2
结合(1)式可得R(e(»))=o，即
^(</>(^...1(^11®-®=0，于是
®•••®E w)=0(2)对于Z=1,•••,©(，=1，由m e R*，可以
第1期Hermite矩阵张量积空间上保持秩可加和秩和最小的线性映射3
得到
®®£…)+%®•"®£i；t+ E川㊈E*+mEjm®•••©E认,-mE仙®••-®E」Q e0
则
/?(/>(m_1(£,i®•••®)+®•"
®E ljk+E”i®••-®E Jkl)=7?©(m"(Eu®••-®^ii)+%®…®札+E”i®…®E阴+ m(E丽®…®%))+R(t>(-mE jdi®…
®E j^
结合(2)式可得
Re(Ei”®…®E Xjk+E川®…®E Jkl)= Re(Em®■-®E ljt+Ejj®…®己卅+
m(已居®••-®已认))+附(£JU1®••-®E JUk)令上式m=1,2可得
碎(&”®…®Ey*+Ej"®…®E hi+ ((x)•••(x)d”*))=R4>(Ein®"■®Eq*+
+2(陥® (3)
由(Eu®—®^ii+®—®£Vl+E”i®—®E*i+E jy>®-®E认,E^®-®%)e0和(2)式得
只$(£耐(x)•••(x)E xjk+Ej tl(x)•••(x)EjQ+ 2E r、®-®EQ=时律届®―®EQ+
R©(Ev、®…®E®+E hl®…®Ej『+已届®…&陥)
结合(3)式有R©(E曲®…®E曲=0
©(已刀您…⑧EQ=0(4)对于任意的p,=1,…,®,(i=1,•••,/)，且c e C-，有
z曲E吶+C%®--®E P^+ c(E“m®…®E冲J+(E沏®…®%), cc(E吶®…®EpJ-c(E吋®…®EQ-c(E伽®-®EjJ+(E屈®-®E JUk))e0结合(2)和(4)式，可以得到
0=碎(c(%(g)…(g)%)+c(£>1P1®•••®EjJ)+/?$(-(：厲心®―®EQ-
5(0)
所以
尺緘心殆®…®E p.k)+c(E Jipi®…(8)%))=0(5)结合(2),(4),(5)式可以得到(/>=0.
情形2线性映射©是单射.
对任意知®…®A ik e八易知存在码®
…区)码，...®•-(3仏e厂使得
n-1
(几®…+㊈九，码®
1=2
…㊈心e©
由</>保持秩可加可得
n
R(e(A“(§)…⑧九+》人1g…g九)=
t=2
n-l
R(Q(九区)…“+丫九®)+
i=2
RS(力nl⑧…®心))=^(</>(^11®®A\k+ n-2
®…®A{n-2)k))+R(e(A(”“>i®-
t=2
®^(…-i)t))+R(e"”i g…<8)心))
n
=R(e(Aii®••-®)+X尺(少(九®
t=2
…
由九(8)…e「(t=1,2,•••,“)和</>是单射可得7?(<#>(4n®-®A lt))= 1.
由定理1可知存在可逆矩阵T e M ni®…
e1-1,1!及比(§)•••上的典范映射77使得
0(X)=入7¥(X)厂，VX e血®…
定理3已知e：H”］区)…(g>—>//,
*(g)…®H nk是线性映射.若对于任意A,®-®A k,
e血⑧…叽，当
R(A t®---®A k+8,®•••®BJ=
I7?(A,®-®4)®-®B t)I
成立时有
/?(</>(A,®®A k+Bj®•••®BJ)=
4哈尔滨师范大学自然科学学报2019年第35卷
则e=0，或存在可逆矩阵T E
A e(-1,11及上的典范映射tt 使得
¢(%)=,YX e//…,®-
证明对任意/1.®®-
®B k e•⑧％，若
(儿®…区>力《,5®•■-®e0
则由引理1知对任意人e C，有(缶®…®九，
e®，进而可得
(右®…®4+h®(x)…®B k),
-/»(«!e0.,
(A】®…®A k+h(Bi®…®B k),
-(出®…®4))e0.-
由©保持秩和最小可以得到：
(</>(-41(8) (04)
*+h(B[®•••®),
®-®BJ)e0.,
(0(41®••-®A k+h(B[®•••®BJ), </>(-(缶®…))e0.,
进一步计算可得
=1R(4>(4|+h(B,-
=1R((j>(Ai®••-®A k)+h©(Bi®•••
®B k))-/?(</>(/»(£,I(6)
=I R((e(Ai®••-®A k+h(B](x)••-
®B k))_/?(©(-(4®.®
*)))|
=I R((©(Ai(x)••-®A k+h©(Bi®••-
®BJ)-«(^(/1,®-®AJ)I(7)接下来分三种情形讨论.
情形1假设存在屁eC
*，使得
则由(6)式可以得到
S(</>(A]®••-®A4))=R(<f)(A l®•••
®4)+M(S.-R(e(h°(Bi(x)•••®B k))
因此
R(e(4i®…®4*)+h神(B\®•••®BJ) =g…®A t))+R(d(ho(Bi区)…
®BJ)
所以(©(缶(8)…®(也(g)…®瓦))e 0，结合引理1可得
®••-®A t)®••-®BJ)e 0.
情形2假设存在h°w C*，使得
R((©(Ai®---®A k+h伸(Bi®•••©BJ)>
(g)…(g)很))，同情形1类似讨论，并结合⑺式，可以得到(緘儿®-®4)4®®••-®B*))e0.
情形3对任意h w C*，假设
/?(</>(^!®-®4)+^(b,®-®b4)) W R®(虹d g…®民)))，
®-®4+^(S,®-(x)BJ) W R(e(Ai(X)…®4J).
结合(6)和(7)式，可以得到
R(e(4®・®』)=Rg(h(Big…®B k))-R(<l)(A i0••-®4t)+ (§)•••®BJ)
®■■■®B k))=R((f>(A i®••-®A))-«(<#>(4,®-®A4)+姉厲®-
因此R(»(A\®"-®A k+h©(Bi®•••©BJ)= 0，即
@®AJ+h©(Bi®••-®j BJ=0由/i的任意性知¢(/1,®-®4)=0，故
(</>(儿区>…区MJ g…®B
*))e®.故(©(人1区)…g很)4(B|区)…(g)B*))e0.
综合以上三种情形均可得到0保持秩可加，从而由定理2知g=0，或存在可逆矩阵T e
e1-1,1｝及H v®-®H hk 上的典范映射7T使得
0(X)=S(X)厂，VX e H ni®-
第1期Hermite矩阵张量积空间上保持秩可加和秩和最小的线性映射5
参考文献
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Linear Maps Preserving Rank-additivity and Rank-sum一minimal on Tensor Products of Hermite Matrices Spaces
Gao Lele,Zhang Yang,Xu Jinli
(Northeast Forestry University)
Abstract:The problems of characterizing mappings that preserve certain invariant on given sets are called the preserving problems,which have become one of the core research areas in matrix theory.In this paper,linear maps that preserve rank一additivity and rank-sum一minimal on tensor products of Hermite matrices spaces H n]are characterized respectively.
hermitKeywords:Tensor product；Linear map；Rank一additivity；Rank一sum-minimal；Preserve；Hermite matrices
（责任编辑：于达）
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