第42卷第3期自动化学报Vol.42,No.3 2016年3月ACTA AUTOMATICA SINICA March,2016
自适应鲁棒控制器设计新方法在电液伺服系统中的应用陈光荣1,2王军政1,2汪首坤1,2赵江波1,2沈伟1,2李静1,2
摘要提出了一种自适应鲁棒控制器设计新方法，并运用在阀控缸电液位置伺服系统中.首先，将含有确定、不确定、已知、未知、线性和非线性项的电液伺服系统进行完整地数学建模，以状态空间的形式表出.然后利用本文所提的新方法设计自适应鲁棒控制器和相应的自适应律来处理所建模型中的各项元素.该控制器通过设计一个带有虚拟控制量的控制状态空间表达式并结合状态观测器来获得.设计合适的虚拟控制量，可在任意给定条件下，使所有的系统状态都收敛到所设计的理想状态.接着设计李亚普诺夫函数来证明闭环系统的稳定性.最后建立硬件实验平台与经典自适应鲁棒控制方法进行对比实验验证此自适应鲁棒控制器设计新方法的有效性和优势.
关键词自适应鲁棒，状态观测器，电液伺服，不确定性，非线性
引用格式陈光荣，王军政，汪首坤，赵江波，沈伟，李静.自适应鲁棒控制器设计新方法在电液伺服系统中的应用.自动化学报,2016,42(3):375−384
DOI10.16383/j.aas.2016.c150473
Application of a New Adaptive Robust Controller Design Method to
Electro-hydraulic Servo System
CHEN Guang-Rong1,2WANG Jun-Zheng1,2WANG Shou-Kun1,2ZHAO Jiang-Bo1,2SHEN Wei1,2LI Jing1,2
Abstract This paper proposes a new design method of adaptive robust controller and applies it to a valve-control-cylinder electro-hydraulic servo system.Firstly,the system is fully derived in the state-space form,which includes all the certain,uncertain,known,unknown,linear and nonlinear terms of the system.Then the adaptive robust controller designed by the new method is employed,together with the chosen adaption laws,to deal with all the elements of the modeled mathematical system.The proposed controller is obtained by designing a control state-space expression with auxiliary control components and a state observer.Under an arbitrary given trajectory,all the system states will converge to the desired states through designing the appropriate auxiliary control components.Lyapunov method is utilized to strictly prove the convergence and stability of the system.Finally,a hardware platform of the system is set up and comparative experiments with the adaptive robust controller are implemented to verify the effectiveness and advantages of the proposed method.
Key words Adaptive robust,state observer,electro-hydraulic,uncertainties,nonlinear
Citation Chen Guang-Rong,Wang Jun-Zheng,Wang Shou-Kun,Zhao Jiang-Bo,Shen Wei,Li Jing.Application of a new adaptive robust controller design method to electro-hydraulic servo system.Acta Automatica Sinica,2016,42(3): 375−384
电液伺服系统集电气液压两方面优势于一身，具有响应速度快、功率密度高、负载能力强等特点，故在国民经济领域[1]，如负载模拟器[2]、电机控制[3]、
收稿日期2015-07-21录用日期2015-11-02
Manuscript received July21,2015;accepted November2,2015国家高技术研究发展计划(863计划)(2011AA041002)资助Supported by National High Technology Research and Devel-opment Program of China(863Program)(2011AA041002)
本文责任编委刘艳军
Recommended by Associate Editor LIU Yan-Jun
1.北京理工大学自动化学院北京100081
2.北京理工大学复杂系统智能控制与决策国家重点实验室北京100081
1.School of Automation,Beijing Institute of Technology,Bei-jing100081
2.Key Laboratory of Intelligent Control and Deci-sion of Complex System,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081机械臂控制[4]、工程液压机械[5]中得到广泛应用.如何提高电液伺服系统在复杂工况下的控制精度及其抗干扰能力一直是目前研究的一个热点领域[6−8].由于电液伺服系统具有高度的非线性和不确定性[1]，使用传统的线性控制理论[9]或反馈线性化方法[10]难以达到相应的控制要求，故非线性控制器，如自适应鲁棒控制器[11]，在电液伺服系统中的应用得以迅速发展，其研究内容包括未知非线性参数[12]、未知死区[13]和补偿控制[14]等.
自适应鲁棒控制作为非线性控制的重要部分而受到极大关注.Krstic等在文献[15]中给出了一种基
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于“积分反步”思想逐步设计非线性控制器的方法.近20年来，基于积分反步的自适应鲁棒方法发展迅速[2−5,8,11−14].如,Yao等在文献[16]中提出了半正定反馈形式下的单输入单输出自适应鲁棒控制方法，为了解决该方法不能独立设计控制律和自适应律的缺陷，又在文献[17]中提出了间接自适应鲁棒控制方法.然而，之前的研究并没有完全考虑到加载变化、模型误差、传感器噪声、未建模不确定项等的综合影响，这可能影响到系统的抖振和控制精度.
此外，在实际控制系统中，难免会存在一些无法测量或测量成本较高的系统状态，而这些系统状态又是控制器设计所必须的，故状态观测器应运而生[6,10].随着科技的发展、系统的复杂化和现代控制理论研究的深入，基于自适应鲁棒和非线性的状态观测器得到了广泛研究[13,18]，其扩张形式亦是如此[3,19].
因此，本文充分考虑了以上提及的各项可能影响系统控制性能的因素，建立完整的系统数学模型.所有的系统参数不确定性都由相应的自适应律来处理，而未知的非线性项则由圆滑的鲁棒非线性技术来补偿.整个系统控制器由一个带有虚拟控制量的控制状态空间表达式结合状态观测器来获得，并通过李亚普诺夫函数证明闭环系统的收敛性和稳定性.最后，对比实验验证其有效性和优势.
1系统平台与建模
本文研究的系统如图1所示，包含有液压缸、伺服阀、溢流阀、电机泵、负载、传感器及控制器.此系统研究目的是通过控制伺服阀来间接控制负载尽可能的跟上给定轨迹，并能有效抑制外界干扰.
图1阀控缸电液位置伺服系统
Fig.1Valve-control-cylinder electro-hydraulic position
servo system
根据已有的研究[6−11]和系统应用实际情况，可对电液阀控缸位置伺服系统进行数学建模.由牛顿第二定律可得负载动力学模型如下:
P1A1−P2A2=M¨x L+F f+¯F+∆1(1)
其中,P1,P2为两腔压力,A1,A2为两腔有效面积, M,x L分别为负载质量和位移,F f为可建模摩擦力,¯F为可建模负载力,∆1为不确定负载扰动力、不可建模摩擦力和外界干扰力等扰动力总和.
在本文电液伺服系统中，系统复合不确定摩擦可分成库伦摩擦和粘性摩擦[14]，即
F f=b0x L+b1˙x L+b2sgm(˙x L)(2)
同时，可以将负载力F当成弹簧阻尼力和一个小的未知不确定力 1∈∆1之和，即
F=¯F+ 1=b3+b4x L+b5˙x L+ 1(3)
其中,b i(i=0,···,5)为摩擦系数,sgm(·)=(1−e−λ·)/(1+e−λ·).
根据流量连续性，可写出液压缸动态方程为
V1
βe
˙P
1
=Q1−A1˙x L−C tm(P1−P2)−
C em1(P1−P r)+∆Q
1
V2
βe
˙P
2
=−Q2+A2˙x L+C tm(P1−P2)−
C em1(P2−P r)+∆Q
2
(4)
其中,V1=V10+A1x L,V2=V20−A2x L分别为两腔整个可控体积(V10,V20为x L=0时两腔容积), P r为回油压力,βe为有效弹性模量,C tm和C em1, C em2分别为内外泄漏系数,Q1,Q2分别为进入油
缸流量和排出油缸流量,∆Q
1
,∆Q
2
分别为两腔未建模流量.
忽略伺服阀动态，通过阀口的流量是与阀开口大小x v和压降∆P i有关的静态非线性函数映射，即阀节流公式[4]为
Q i=C d W x v
2
ρ
∆P i
∆P i=
P s−P i,x v>0
P i−P r,x v<0
,i=1,2(5)
其中,C d为流量系数,W为滑阀面积梯度,ρ为油液密度,P s为供油压力.
定义液压缸中点为零点，则系统的工作范围为x L∈[−L/2,L/2]，两腔初始可控体积为
3期陈光荣等：自适应鲁棒控制器设计新方法在电液伺服系统中的应用377
V 10=V 1c +A 1L 2
V 20=V 2c +A 2
L 2
(6)
其中,L 为液压缸行程,V 1c ,V 2c 分别为两腔油路和腔体未使用体积总和.
由伺服阀动态性能可知[2,11]，伺服阀阀芯位移x v 与控制电流i 的关系如下:
τv ˙x v =−x v +k v i (7)
其中,τv ,k v 分别为伺服阀的动态时间常数和增益.
定义系统状态变量x =[x 1x 2x 3x 4]T =
[x L ˙x L P 1A 1−P 2A 2x v ]T ，并取u =i ，结合式(1)∼(7)可得:
˙x 1=x 2˙x 2=1f 0(x 3+f 1(x 1,x 2)+∆1)˙x 3=1f 4(x 1)(f 3(x 1,P 1,P 2)x 4+f 2(x 1,x 2,P 1,P 2)+∆2)˙x 4=f 5(x 4)+f 6u
(8)其中,
f 0=M f 1(x 1,x 2)=b 3+(b 0+b 4)x 1+(b 1+b 5)x 2+b 2sgm (x 2)f 2(x 1,x 2,P 1,P 2)=A 1V 2[−A 1x 2−C tm (P 1−P 2)−C em 1(P 1−P r )]−A 2V 1[A 2x 2+C tm (P 1−P 2)−C em 2(P 2−P r )]f 3(x 1,P 1,P 2)=C d W  2ρ
A 1V 2√∆P 1+A 2V 1√∆P 2 f 4(x 1)=V 1V 2βe f 5(x 4)=−1τv x 4f 6=k v τv ∆2=A 1V 2∆Q 1−A 2V 1∆Q 2
(9)
由式(8)和式(9)可知，被研究系统是一个非线
性系统,F f ,¯F
是未知函数,∆1,∆Q 1,∆Q 2是未建模元素，参数C tm ,C em 1,C em 2难以精确给出，伺服阀特性参数τv 和k v 不确定,V 10,V 20,M 也不确定，且βe 在工作过程中会发生改变.所以，对这样一个未知的不确定非线性系统设计一个控制器，使输出x L 尽可能地跟上给定输入x Ld 是具有挑战性的，也是本文的主要工作.为不失一般性和体现该设计新方法的可普遍推广性，本文控制器设计中尽可能考虑了系统中所有的不确定项和传感器噪声，从而提出一种直观简洁的自适应鲁棒控制器设计方法，并结合状态观测器来进行控制器设计.
2自适应鲁棒控制器设计新方法
本文的控制器设计包含系统所有的不确定项和未知元素.该控制器结构是由一个含有虚拟控制量的被控系统控制状态空间表达式结合状态观测器建成的.通过选择合适的虚拟控制量可以使系统状态跟上理想状态.然而，实际系统与系统模型总存在偏差，所有的传感器测量量总是含有来自传感器零偏、噪声或影响测量精度的不期望元素.因此，本文将这些元素当成不确定项加入到实时系统模型中.
为便于分析，取ˆ•为•估计值;˜•=•−ˆ•为•估计误差.并给出以下三个假设:
假设1.系统不确定参数向量θ在一个闭合有界凸集Ω内，即在θ∈Ω有θmin ≤θ≤θmax ，其中θmin 和θmax 分别为已知的θ上下界.
假设2.不确定项∆有界，即|∆|≤B ，其中B 为已知正常数.
假设3.系统状态有界，且理想输出轨迹x Ld 连续可实现，即[x Ld ,˙x Ld ,¨x Ld ]T ∈ΩLd ,ΩLd ={[x Ld ,
˙x Ld ,¨x Ld ]T :x 2Ld +˙x 2Ld +¨x 2Ld ≤M 0}⊂R 3
是一个已知紧集，该集的界M 0是一个已知正常数.
由以上3个假设结合文献[16−17]，可得如下两个性质.
性质1.被估计参数ˆθ
在已知有界集Ωθ，即ˆθ∈Ωθ，由假设1可得θmin ≤ˆθ
≤θmax .性质2.˜θT (Γ−1proj ˆθ
(Γτ)−τ)≤0,∀τ.由式(8)可得本文电液伺服系统的全状态空间表达式(10).其中,δi ,i =1,···,4为集中的含有测量误差、加载模型误差和液压模型误差的未知项，故这些未知项在每一阶系统都会存在.显然，由假设2可知这些未知项有界.
378自动化学报42卷
˙x1m=x2m+δ1
˙x2m=
1
f0
(x3m+f1+δ2)
˙x3m=
1
f4
(f3x4m+f2+δ3)
˙x4m=f5+f6u+δ4
(10)
由系统的全状态空间表达式(10)，提出系统的控制状态空间表达式
˙x1c=x2c+α1c
˙x2c=
1
ˆf
(x3c+ˆf1)+α2c
˙x3c=
1
ˆf
4
(ˆf3x4c+ˆf2)+α3c
˙x4c=ˆf5+ˆf6u+α4c
(11)
其中,x ic,i=1,···,4是给定的状态轨迹,αic,i= 1,···,4是虚拟控制量，被设计来满足系统的控制目标.因为系统的全状态空间表达式(10)中每一阶系统都含有未知项，故在系统的控制状态空间表达式(11)中每一阶系统都需要一个虚拟控制量来进行状态控制的同时鲁棒抑制这些未知项，这是与经典自适应鲁棒控制器设计所不同的[11].
结合式(10)和式(11)，定义状态误差为
z i(t)|
i=1,···,4
=x im−x ic(12)联合式(10)∼(12)可得误差状态方程
˙z1=z2+δ1−α1c
˙z2=
1
f0
(z3+˜f1+δ2)+
˜f
f0ˆf0
(x3c+ˆf1)−α2c
˙z3=
1
f4
(−˜f3x4c−˜f2+f3z4+δ3)+
˜f
4adaptive
f4ˆf4
(ˆf3x4c+ˆf2)−α3c
˙z4=−˜f5−˜f6u+δ4−α4c
(13)假设不确定项有足够好学习速率来收敛到它们
的真实值，结合假设2，则控制状态空间表达式的虚拟控制量为式(14).其中,k j,k ij,αj,j=1,···,4是正定常数,z ij,j=1,···,4是鲁棒函数.由式(14)可知，每一阶系统的虚拟控制量都含有像PID 控制中一样作用的比例项和积分项，可分别看作鲁棒自适应控制中的自适应项和鲁棒项[20]，此外下一阶系统的虚拟控制量会含有与上一阶系统相关的耦合控制量.
α1c=k1z1+k i1z i1
α2c=
1
ˆf
k2z2+k i2z i2+
α1
α2
z1
α3c=
1
ˆf
4
k3z3+k i3z i3+
α2
α3
z2
α4c=k4z4+k i4z i4+
α3
α4
ˆf
3
z3
(14)
在此，本文取z ij,j=1,···,4是圆滑有界的鲁棒函数
z ij(t)|
j=1,···,4
=
t
z j(τ)dτ(15)在整个自适应鲁棒控制系统中，同时利用估计模型来逼近不确定函数.首先，每个不确定函数被分成两部分：确定参数向量γ和不确定参数向量θ.确定项由测量元素组成，而不确定项包含不确定参数，即
f i|
i=0,···,6
=θT
i
γi(16)
其中,
θ0=M
θ1=[b
3
b0+b4b1+b5b2]T
θ2=[A2
1
V2+A2
2
V1(A1V2+A2V1)C tm
C em1C em2]T
θ3=
C d W
2
ρ
A1V2C d W
2
ρ
A2V1
T θ4=
V1V2
βe
θ5=
1
τv
θ6=
k v
τv
(17)
γ0=1
γ1=[1x
1
x2sgm(x2)]T
γ2=[−x2−(P1−P2)
−(P1−P r)P2−P r]T
γ3=[
√
∆P1
√
∆P2]T
γ4=1
γ5=−x4
γ6=1
(18)
3期陈光荣等：自适应鲁棒控制器设计新方法在电液伺服系统中的应用379
因此，由式(16)可得要估计的函数可写为
ˆf i    i =0,···,6
=ˆθT i
γi (19)由假设1和性质2，可定义不确定参数的界为
ˆθi ,θi    i =0,···,6
∈B i =[θi min ,θi max ](20)
由假设3、式(6)和式(9)可知，函数f 3和f 4
在系统液压缸工作范围内正定.显然，由性质1可知
这些界定也确保了估计函数ˆf 3和ˆf 4也是正定的.
为保证系统被估计参数在其上下界内具有较好的自适应性能，本文结合假设1设计带有遗忘因子的投影函数如下:
proj ˆθi |i =0,···,6(•,•min ,•max ,a )=
1−(•−•min )(•−•max )
max min 2 •，若•/∈[•min ,•max ]且(2•−•max −•min )a >0•，否则
(21)
其中,b 是正常数,a 是映射遗忘参数.
由文献[2,4,11,14]，可以给出自适应鲁棒控制器自适应律如下:
˙ˆθ=proj ˆθ(Γτ)(22)其中,τ是自适应函数，由下一节给出，以保证系
统李亚普诺夫稳定；正定对称自适应速率矩阵Γ=diag {P 0,P 1,P 2,P 3,P 4,P 5,P 6},P i ,i =0,···,6，为正定可逆对角常矩阵，其中
P 0=p 0P 1=diag {p 11,p 12,p 13,p 14}P 2=diag {p 21,p 22,p 23,p 24}
P 3=diag {p 31,p 32}
P 4=p 4P 5=p 5P 6=p 6(23)由于系统某些状态不易测量，如x 4阀芯位移，但在本文中，该状态对系统的自适应鲁棒控制器设计却是必不可少的，故本文利用状态观测器对其进行观测.这里将式(8)改写为
x =A ˙x
+ϕ(x )+Bu +∆y =Cx
x (24)
其中,
A =
0100
00100000f 3f 40000
,ϕ(x )=
f 10f 2f 4f 5
,B =      000f 6      ,∆=      0∆1f 0∆2f 40
,C =      1000
T
.根据文献[13,18]，系统(24)的状态观测器可写为
˙ˆx =A ˆx +ϕ(ˆx )+Bu +G (y −ˆy )=
(A −GC )ˆx
+ϕ(ˆx )+Bu +Gy (25)
其中,G 为观测器增益.由式(24)和式(25)可得状态观测误差动态为
˙˜x
=(A −GC )˜x +ϕ(x )−ϕ(ˆx )+∆(26)
通过选择合适的向量G 使A −GC 是霍尔
维茨，即可保证观测误差动态(26)李亚普诺夫稳定[3,10,19]，便可知道状态x 4阀芯位移的观测值.最后由式(11)和式(14)可以得出该电液伺服系统的控制量
u =1ˆf 6
˙x 4c −ˆf 5−α4c =1ˆf 6
˙x 4c −ˆf 5−k 4z 4−k i 4z i 4−α3α4ˆf 3z 3(27)
3稳定性分析
本节通过设计李亚普诺夫函数来验证闭环系统
的收敛性和稳定性，并给出控制器的自适应函数τ.
定理1.给定非线性系统(8)和系统(9)，并取其第1个控制状态变量为参考输入，在假设1∼3下，自适应鲁棒控制器结构设计为式(11)，虚拟控制量为式(14)，圆滑的鲁棒函数为式(15)，加上估计自适应律结构为式(22)，则有:
1)所有的系统状态x im ,i =1,···,4，将一致收敛到理想状态x ic ,i =1,···,4，并最终有界.
2)选择合适的参数k i ,k ij ,αi ,i,j =1,···,4,Γ和参考输入，系统输出和理想参考输入的稳态跟踪误差将收敛到给定的界内.
证明.定义集中有界未知项的有效范围为
δi |i =1,···,4∈[c i −W δi ,c i +W δi ]
(28)

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