2021年3月 第28卷第3期
控制工程
Control Engineering of  C h ina
Mar. 2021 Vol.28, N o.3
文章编号：1671-7848(2021)03-0457-07
D O I : 10.14107/jki.kzgc.20180530
二维直线电机的并联型无模型自适应复合控制
廖柏程\曹荣敏\周惠兴2，高彬彬3
(1.北京信息科技大学自动化学院，北
京100192; 2
.
北京金铎科技发展有限公司，北京100000;
3.
北京灵思创奇科技有限公司，北京
102200)
摘要：针对二维直线电机平台系统的JiT 轴协同控制问题，将P I 与并联型无模型自适应 相结合的复合控制方法应用于控制系统。该控制方法通过在每个子系统加入P I 控制方法 保证其穗定性，再通过并联型的无模型自适应控制方法来提高整个系统的跟踪性能，以减 小系统位置误差。基于数据驱动的无模型自适应控制方法设计二維直线电机系统控制器， 其优势在于无需被控系统精确数学模型，仅根据被控系统输入输出数据对系统进行控制。 相比基于模型的控制方法，该方法能够减小未建模动态产生的干扰，有效提高控制精度。 仿真及实物控制效果对比结果表明，这种复合控制方法明显提高了整个系统的穗定性和位 置跟踪精度。
关键词：并联型无模型自适应控制；P I 控制方法：数据驱动控制；二维直线电机 中图分类号：TP 273
文献标识码：A
Parallel Model-free Adaptive Composite Control for Two-axis Linear Motor
LIAO Bo-cheng1, CAO Rong-min\ ZHOUHui-xing1, GAO Bin-bin3
(1. School of  A utomation, Beijing Information Science a n d  Technology University, Beijing 100192, China; 2. Beijing Jinduo  Technology D e v e l o p m e n t  Co., Ltd., Beijing 100000, China; 3. Beijing L I N K S  Technology Co., Ltd., Beijing 102200, China)
Abstract : Considering  the  AT-axis  cooperative  problem  in  the  two-axis  linear  motor  platform  system , the
composite  control  method  that  combines  PI  with  parallel  model-free  adaptive  control  is  applied  to  the  control system . This  method  can  reduce  position  error  of  the  system  by  adding  PI  control  method  into  its  subsystem  to ensure  stability  as  well  as  parallel  model-free  adaptive  control  method  to  improve  its  tracking  performance . Based  on  the  data-driven  model-free  adaptive  control  method , the  controller  of  two-axis  linear  motor  system  is designed . Its  advantage  is  that  it  does  not  need  the  precise  mathematical  model  of  the  controlled  system , and only  controls  the  system  according  to  the  input  and  output  data  of  the  controlled  system . Compared  with  the model-based  control  method , this  method  can  reduce  the  disturbance  caused  by  unmodeled  dynamics  and effectively  improve  the  control  accuracy . The  comparison  of  simulation  and  physical  control  results  shows  that the  composite  control  method  can  improve  the  stability  and  position  tracking  accuracy  of  the  whole  system obviously .
Key  words : Parallel  model-free  adaptive  control ; PI  control  method ; data-driven  control ; two-axis  linear  motor
i 引言
电子通信、计算机与电子医疗等领域消费需求 的日益增涨，有利地促进了半导体产业的发展。半 导体芯片是电子设备重要的组成部分，半导体芯片 加工精度直接影响着整个电子设备的系统性能。
由于直线电机的直接驱动、“零传动”、功率损 耗小、定位精度高等优点，在精密仪器加工领域有
着很好的经济效益而二维直线电机平台在半导 体细微加工、电路板制造、光刻等领域更有很好的 应用前景，尤其在精密仪器加工领域[4]。
因此，为了使二维直线电机能够稳定的运行且 拥有较高的跟踪精度，文献[4-8]分别提出了双神经 网络前馈解耦控制、
次优化、模糊控制以及通
收稿日期：2018-09-24；修回日期：2018-11-12 基金项目：北京市自然科学基金(4142017)
作者简介.•廖柏程(1993-)，男，贵州铜仁人，研宂生，主要研宄方向为数据驱动控制方法及直线电机控制技术等；曹荣敏
(1964-)，女，宁夏银川人，博士，教授，主要从事数据驱动控制理论及其在机电综合系统中的应用与直线电机 控制技术等方面的教学与科研工作（本文通信作者，E m a i l :r o n g m i n _c a o @163.c o m
)。
•458 •控制工程第28卷
过设计解耦控制器等方法进行控制，这些方法都能 使二维直线电机系统达到相对较高的跟踪精度，但 此类方法均需二维直线电机系统精确数学模型。对 于复杂系统往往存在建模困难的问题，且在建模过 程中，很难避免建模误差的存在。因此，针对二维 直线电机系统内部存在耦合性、非线性以及内部的 连接结构的不可知性[9~11]，本文采用了并联型无模 型自适应控制(model free adaptive control,MFAC)与 PI控制相结合复合控制方法。利用PI控制方法使得 各单轴能够达到稳定的状态，再通过并联型无模型 自适应控制方法来提高整个二维直线电机系统的跟 踪精度。
由于很容易获得义、y轴在往复运动时产生的输 入输出数据，因而为该方法提供了很大的便捷。因此，该方法摆脱了对二维直线电机精确数学模型的 依赖，大大降低了控制难度，有效地利用了两轴往复运动时产生的输入输出数据，实时估计，准确控 制，从而提高了整个系统的跟踪精度[12，13]。
2并联型的无模型自适应控制
本文提出的并联型无模型自适应复合控制方 法如图1所示。首先利用PI控制器使得二维直线电机 的两轴子系统达到稳定的状态，再通过分散估计的 方法，分别利用两个直线电机在往复运动过程中产 生的输入输出(I/O)数据，实时在线估计二维直线电 机系统X、y轴的伪梯度(PGX和PGY)，然后再给出 整个系统并联型无模型自适应控制方案，从而达到 提高整个系统跟踪精度的目的。采用这种分散估计 集中控制的方法无需再着重研宄二维直线电机系统 内部的非线性、子系统之间的耦合性等问题，而是 充分利用系统的I/O数据，极大地简化了控制器的设 计过程。
图1并联型无模型自适应复合控制结构图
Fig. 1 D i a g r a m of parallel model-free adaptive composite control structure
由于仿真以及实物验证过程都是在Simulink软 件中进行的，所以无需再计算并联型无模型自适应 控制器输出与PI控制器之间的连接公式，而是通过 搭建fimction模块直接与PI模块连接即可。在2.1节给 出了伪梯度的估算方法，且证明了它的存在性和有 界性。
2.1并联型无模型自适应复合控制方法的分散估计
根据图1所示的控制方案，每个轴均先进行各 自的分散估计，分别得到两轴的估计值P G X和PGY，再进行两轴的无模型自适应集中控制。
下面就偏格式动态线性化(partial form dynamic linearization,PFDL)方法进行各轴分散估计器的设 计。一般单输入单输出(single input and single output, SISO)离散时间非线性系统如下[12]:
外+1>=/〇⑴，…，外-/^ )，w(〇,…,))(1)
由定理1可知，当非线性系统满足假设1和假 设2，且lA f/JO lhO时其偏格式动态线性化数据模
型可表示为
第3期廖柏程等：二维直线电机的并联型无模型自适应复合控制•459 •
\y(t + \)= <PlLm U Li t)(2)式中，0^⑴=[说(〇,...，么(〇]T e#为未知但有界 的伪梯度；…，A m〇-L+ 1)]t;L为 控制输入线性化长度常数。
定理1对于满足假设1和假设2的非线性系 统，给定I，当I a w w I卜〇时，一定存在一个称为
伪梯度的时变参数向量JO e/f t，使得系统可转 化为PFDL数据模型，且对于任意时刻f
[為⑴，…，么W]T是有界的。
假设1 /(•••)关于第+2个变量到第/^ + L+
1个变量分别存在连续伪偏导数。
假设2系统满足广义Lipschitz条件，即对任意 q d2,V2乏0 和 ％(〇 式有
1^, +1)- y(t2+1)|< 6||^(〇-U L(t2)\\(3)
式中，池+i)=/(>>((.)，...，成-\)，《((.)，…，吨-《…)); z=l，2;fc>0 〇
证明
Ay(t+1)= y{t+1)- y{t)=
〇〇-lV"，M(r-n…))-
-1).y(t -2),---,y(t-ny+1),
u(t-\),u(t-2),---,u(t-nu +1))
A j(?+ l)= X?+1)->>(〇 =
/O W,><；卜 1)，•••，:K d，)，
m⑴,m(卜 1)…，m(卜《J)-
y(t n y),
m(卜 1)，《(卜 1)…，m(卜 ))+
u{t-\),u{t-\)---,u{t-nu))~
fiy{t-^),y(f-2),--,y(t-ny-1),
u{t-\),u{t-2),---,u{t-nu-1))
设
^(0=/ (^(0. y(t n y),
m(卜 1)，m(卜 1)…，m(卜”…))-
u{t-\),u{t-2),---,u(t-nu-1))
利用假设1和柯西微分中值定理得
^+=¥r M^~ ~+(4)
du(t)
式中，表示/(•••)关于第\+2个变量的偏导数在外-1)，…，外-\)，-i)，M〇- 1)…，M(z -«u)]T和[J W，:K卜”，…，:K卜 ')，w W，吨-”…，
义)]T之间某一点处的值。
由式⑴可知：
yit)=f(,y{t-\), ■■■,y{t-ny-1),(5
u{t-\),u{t-2), ■■■,u{t-nu-1))
将式(5)代入式(4)，并令
(P\(0=/(^(^-1), •••,y{t-ny-1), u(t-\),
w(卜2)，…，w(f-na-l))
^(0=/ ■■■,y(t~ny-1),
w(/-l),u(t-2), ■■■,u(t-nu-1)),
^(M),•••,y{t-n y),u(t-l), ■■■,u(t-nu))-
y{t-\),---,y(t-ny-\),
u(t-l), u(t-2), ■■■,u(t-nu-1))
Ay(t+1) = (m(〇- m(/-1)) +
Suit)
-1),
u{t -1),u(t -2),---,u(t -n u -1))-
炉i C v〇-l)，…，y O-〜—1)，
u(t-2),u(t-2),---,u(t-nu -1)) +
<P i(y(t-^),---,y(t-n y -1),
u(t-2),u(t -2),---,u(t -n u -1))
adaptive(«(〇-u(t -1))+
式中，一为灼(…)关于第… +2个变量的偏导 du{t -1)
数在[y(f-l),••.，>»(/-«,-l)，《(f-2)，M(f-2)".，M(r-—"r和[外-认…’少(卜s)，“(卜认冲-2)…，m(?
之间某一点处的值，且
Vi (y(t -2),--,y(t-n y-2),u(t ~2),
m(卜3)，."，m(卜”… -2))=
u(t-2),u(t-3),---,u(t~nu -2)),
y(t-2),---,y(t-ny-2),
m(^-2),m〇-2),-1))
所以得到
•460 •控制工程第28卷
m，+i)=I^a m(〇+己9;
du(t -1)
Au(t- 1)+--h
g g tV
du(t-L +\)
Au(t-/, + !)+
灼- A …，(卜〜_ z)，
u(t - L),---,u(t -n u -L))
其中，对f= 2,…,L，定义
(6)
(pXy(,t-i\-",y{t-ny-i),
(p i-\-〇,•••,y(t -n y-i),
- /),m(?- I- 1),•••,M(f-
y(t-i),---,y{t-ny- /+ 1),
M(卜!•)，M(卜〇,…，M(卜弋-!•+1))
对每个固定时刻f，考虑如下？7(幻的方程
灼〇(卜I)，…，><；卜〜_上)，
u(t-L),---,u(t~nu -L)) =
r f (k) [ A m(A：) • • • A w(A： - Z, + 1)]T=
TjT(k)A U L(k)
由于l A h⑴卜0，故方程(7)至少有一个解
7*(幻。
令
d f d<p,'
du(k)'du(k -1)'
d(P L-x
du(k -L+ \)
由此结合式(6)可以得到式(2)，再由式(2)和假设2，对于任意的？和lA R W卜0有|A_y(?+ l)|=
卜6|丨1^_，如果〜⑷中的分童是无界的，那么如上不等式就无法成立。因此<P pi(〇
是有界的。
P G的估计准则函数为
Ad>P,L(0>\y P t L(t)AUL(r-l)f+
"i k我,M『
至此，得到了两轴估计器的输出，它们将作用 于并联无模型自适应控制器，实时调整控制器的输 出，以便更好的控制各轴的跟踪精度。
2.2并联型无模型自适应控制算法研宄
由2.1得到P G的估算方法，而且证明了其存 在以及有界性。下面将二维直线电机的两轴子系统 考虑成如下两个SISO离散时间非线性子系统并联 组成的系统：
P1 ：只(，+1)=乂 (乃⑴，…，乃(卜')，
?2:y2(t+l)=f2(y2(t),-,y2(t-ny2),
u2{t),---,u2{t-nU i))
式中，•V,(〇eR，M iG)eR分别为第〖个子系统在第f时 刻的输出和输入信号；为未知的正整数；
_/；(•••；)为描述第/个子系统的未知非线性函数，z=l，2 〇
在二维直线电机系统中，表示系统的期望 轨迹，x W表示系统的实际位置。
并联系统的PFDL数据模型可以表示为
Ay(t+1)= Ay,(t +1)+ Ay2(r+1)=
WA气(〇+ <Z>U)Al/2々(〇假设A S L2=L，并定义两个L维的向量如下 At/p(〇= [AM(〇,-,A«(A:-I+ l)]T
<pP(t)=m o,-A(t)]T
其中，
则并联系统的PFDL数据模型可表述为
(13)
Ay(t + \)= 0T P(t)AUP(t)(14)式中，<PP T(〇为并联系统的伪梯度。
展开式(14)得到式(15):
式中，//>0为权重因子。
根据最优条件，对式(8)关于<P p i(〇求极值，并 利用矩阵求逆矩阵引理，可得P G的估计算法为<^，!(’)=^以(卜1)+
t j A U l(t-l)(y(t)-y(t-l)-^pL (t-l)AUL(M))(9)
式中，步长因子；76(〇,2]是为了使控制算法设计具有 更大的灵活性；i(A:)为未知<P p i(A:)的估计值。y*(f+1)- ^(〇 = [m(〇- u(t -1)]<t\(〇+
[m(/-L+2)-u{t- L +1)]^_,+|(〇
m(/)^ (〇=y\t + l)~ y(t) + u(t-1M(t)-
[u(t-l)-u(t-2)]M0~
[u(t-L + 2)-u(t-L +1)]^_,+1(〇
第3期廖柏程等：二维直线电机的并联型无模型自适应复合控制• 461 •
辨识得来的参数，根据并联型无模型自适应复合控
制方案，按照图1所示的并联型无模型复合控制结 构搭建Simulink 模块进行仿真。
由于Z 、7轴电机之间存在耦合，所以可以将F 轴电机视为负载，单独对义轴进行控制。由于负载
r 电机存在而导致的摩擦因素影响，系统在位置跟 踪上出现很大的误差，单独使用P I 控制的仿真曲线 如图2所示。为了模仿系统的启动停止，将输入信 号改为方波信号，得到的仿真曲线如图3所示。
图3 P I 控制X 轴电机的启停
Fig. 3 Stop a n d  start of X -axis m o t o r  for PI control
由图3可知，在电机启停时实际位置与期望信
号也存在较大的偏差，显然系统无法满足对期望信 号的准确跟踪，且难以达到预设的位置。
为此经过改进，采用并联型无模型自适应方法 与P I 控制方法相结合，并联型的M FAC 算法的参 数
选
择
为
权
重
系
数
=0.3得到的仿真结果如图4所示。
t/s
图2 P I 控制位置跟踪效果
Fig. 2 Position tracking effect of PI  control
图4并联型无模型自适应复合控制位置跟踪
Fig. 4 Position tracking of parallel model-free adaptive
composite control
u(t) = u(t-l)+
y\t  +1) - ^(〇 +
- / +1) (15)
_____________________1=2___________________
在式(15)中加入系数;l 和；〇保证整个式子分母 不为零，并提高了灵活性。由此得到并联系统的
PFDL -MFAC 算法如下：
岭) = t /(f -l )+ 十(0 +
(16)
y  0 +1)-yit) + Yj^(t)Au(t-i+\)
\
i=2 J
式中，；l >0为权重因子，A (包括；的取值不 同直接影响着系统的闭环响应速度和超调量，且;I 越大，
系统的响应速度就越慢，超调量就会变得越 小；反之，系统的响应速度越快，超调量越大。并 且当;I 的取值为0时，很容易出现闭环振荡的现象。 所以在选取A 时，需要根据闭环系统响应速度和超 调量的大小来决定。M 0,1]为额外加入的步长因 子，扣)是价)在，时刻的估计值，z _=l ,…，i 。
由式(16)可以看出，；I 对控制输入的变化A m (?) 起到限制的作用，所以针对不同的控制输入需要选 取不同的A 值。文中的;1^；^，其范围均为'，毛e (0,+〇〇) 〇
文中无模型自适应控制算法采用了偏格式动 态线性化(PFDL )的方法，而该方法需要对控制输入 准则函数
J  («(〇) = |/ (/ +1) - y(t  +1)|2 + A  |«(〇 -u(t-1)|2
关于《⑴求导，从而得到一个关于的表达式。 根据控制输入准则函数的表达式，可更直观地看出 A 对控制输入的变化△«(0起到限制的作用。
3仿真研宄
二维直线电机系统是由X 、7轴两台直线电机 组合而成，由文献[1,2]可知各单轴的机械运动方程， 根据本实验室二维电机平台，通过最小二乘法辨识 系统参数见表1。
表
1
二维直线电机辨识参数
Tab. 1 Identification pa r a m e t e r s  of two-axis linear m o t o r
M
B A f d 尤轴0.1816.322 70.032 4-0.004y 轴
0.24
51.799 7
0.030 2
0.002
表中M 是动子质量，S 是粘滞摩擦系数，4/代 表库伦摩擦力，
表示一个位置相关的系数。根据
83
/
^v I
班脚扫
号
置_
僚位 望际
期实
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