区间⼆分法（BisectionMethod）迭代求根的python程序
迭代法的作⽤
许多复杂的求解问题，都可以转换成⽅程f(x)=0的求解问题。这⼀系列的解叫做⽅程的根。对于⾮线性⽅程的求解，在⾃变量范围内往往有多个解，我们将此变化区域分为多个⼩的⼦区间，对每个区间进⾏分别求解。我们在求解过程中，选取⼀个近似值或者近似区间，然后运⽤迭代⽅法逐步逼近真实解。
⽅程求根的常⽤迭代法有：、、、。
⼆分法
求实根最简单有效的⽅法：⼆分法。易于在计算机上实现，且对于函数f(x)的性质要求不⾼，仅仅要求它在有根区间上连续，且区间端点的函数值异号即可。它的缺点是不能求偶数重根，也不能求复根，收敛速度与以1/2为公⽐的等⽐数列相同，不算太快，因此⼀般在求⽅程近似根时，不太单独使⽤，常⽤它来为其他⽅法求⽅程近似根提供好的初值区间（重要：初值区间的确定直接决定求解的速度）。
⼆分法基本思想
把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]（满⾜f(a）×f(b）<0）“⼀分为⼆”，得到[a，m]和[m，b]。根据“f(a)●f
(m)<0”是否成⽴，取出零点所在的区间[a，m]或[m，b]，仍记为[a，b]。所对得的区间[a，b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a，b]“⾜够⼩”，则
[a，b]内的数可以作为⽅程的近似解。
⼆分法计算步骤
详细步骤：
例题
求⽅程式：x3 - 0.165*x2 + 3.993*10**(-4) = 0在（0，0.11）的根
⽜⼑⼩试
代码：
return f
for i in range(100):#进⾏100次迭代，迭代次数⾃⼰定
xm =(xl + xu)/2
if f(xm)==0:
break
else:
pass
if f(xl)* f(xm)<0:
xl =xl
xu = xm
elif f(xl)* f(xm)>0:
xl = xm
xu = xu
else:
break
print(xl , xu)
print('⽅程的根为：',(xl + xu)/2)
结果：
0.062377581513749480.06237758151374953
⽅程的根为：0.0623775815137495
约定⼀个误差，当误差⼩于某个数值的时候，迭代停⽌代码如下：
return f
xm_list =[]
m =0
while True:
xm =(xl + xu)/2
xm_list.append(xm)
m +=1
if f(xm)==0:
break
else:
pass
if f(xl)* f(xm)<0:
xl =xl
xu = xm
elif f(xl)* f(xm)>0:
xl = xm
xu = xu
else:
break
if len(xm_list)>1:
error =abs((xm_list[-1]- xm_list[-2])/ xm_list[-1])
if error <10**(-6):
print(f'迭代第{m}次后，误差⼩于10^(-6)，误差为{error}')
break
python代码转换else:
pass
print(xl , xu)
print(f'得到⽅程的根为：{(xl + xu)/2}')
结果：
迭代第21次后，误差⼩于10^(-6)，误差为8.408809405129639e-07 0.0623775434494018640.062377595901489266
得到⽅程的根为：0.06237756967544557
迭代⾄电脑默认误差为0
return f
m =0
while True:
xm =(xl + xu)/2
m +=1
if f(xm)==0:
break
else:
pass
if f(xl)* f(xm)<0:
xl =xl
xu = xm
elif f(xl)* f(xm)>0:
xl = xm
xu = xu
else:
break
print(xl , xu)
print(f'迭代第{m}次后，误差为0，得到⽅程的根为：{(xl + xu)/2}')结果：
0.062377581513749480.06237758151374953
迭代第52次后，误差为0，得到⽅程的根为：0.0623775815137495
画迭代图
代码：
import matplotlib.pyplot as plt
xl =0
xu =0.11
def f(x):
f = x**3-0.165*x**2+3.993*10**(-4)#需要求根的函数return f
xm_list =[]
x_values =[]
y_values =[]
m =0
while True:
xm =(xl + xu)/2
xm_list.append(xm)
m +=1
if f(xm)==0:
break
else:
pass
if f(xl)* f(xm)<0:
xl =xl
xu = xm
elif f(xl)* f(xm)>0:
xl = xm
xu = xu
else:
break
if len(xm_list)>1:
error =abs((xm_list[-1]- xm_list[-2])/ xm_list[-1])
x_values.append(m)
y_values.append(error)
if error ==0:
break
else:
pass
print(f'xl={xl},xu={xu}')
print(f'迭代第{m}次后，误差为0，得到⽅程的根为：{(xl + xu)/2}') #设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
#处理中⽂乱码
#坐标轴负号的处理
#横坐标是迭代次数
#纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,
y_values,
color ='steelblue',# 折线颜⾊
marker ='o',# 折线图中添加圆点
markersize =3,# 点的⼤⼩
)
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显⽰图形
plt.show()
结果：
xl=0.06237758151374948,xu=0.06237758151374953
迭代第52次后，误差为0，得到⽅程的根为：0.0623775815137495

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