计组学习笔记（⼀）：浮点数的表⽰和运算
最近学习计算机组成原理，遇到许多疑难问题，接下来写⼀写我在学习浮点数⽅⾯知识的理解，在巩固的同时也⽅便⽇后的复习。
⼀、浮点数的表⽰
1、浮点数的表⽰格式
浮点数，顾名思义，就是⼩数点不固定的数。计算机中，根据⼩数点位置是否固定，分为两种数据格式，⼀种就是这个，⼩数点不固定，另⼀种是定点数，⼩数点是固定的。
书上科学地对浮点数表⽰法的定义是，以适当的形式将⽐例因⼦表⽰在数据中，让⼩数点的位置根据需要⽽浮动。我们计算机的容量有限，不可能对每个数都⽤特别多的位数来表⽰，⽐如说2×10^99，这种⾮常⼤的数不可能⽤定点数来表⽰，所以呢利⽤浮点数就可以在位数有限的情况下扩⼤数的表⽰范围，同时能保持⼀定的有效精度。
通常情况下，浮点数表⽰为：N = r^E × M
式⼦⾥⾯r是浮点数阶码的底在计算机中是隐含的，通常情况下r=2。E和M都是带符号的定点数，E叫做阶码，M叫做尾数。其中E的⼤⼩越⼤，能表⽰的数范围越⼤，M的位数越⼤，数的有效精度越⾼。
简单地举⼀个例⼦，1.111×2^100这⾥⾯1.111就是尾数，100就是阶码，显然这⾥阶码占的位数为3位，尾数占的位数是4位，假如阶码占的位数有4位，位数占的位数是3位（阶码和尾数所占位数总和不变），那么这个数就只能表⽰为1.11×2^0100，显然能表⽰的数的范围变⼤了，就这个例⼦来说原来尾数1.111转变为1.11损失了0.001，这就是精度的损失。
浮点数的⼀般格式：
这⾥J是阶符，表⽰阶码的符号，S是数符，表⽰浮点数的符号，阶符J和阶码的m位合起来表⽰浮点数的表⽰范围和⼩数点的实际位置，n 位尾数反映了浮点数的精度。
2、浮点数的规格化
为什么要进⾏浮点数的规格化呢，我们知道了浮点数的⼀般格式，同⼀个浮点数可以有很多表现形式，⽐如1.111×2^3，还可以表⽰为0.1111×2^4，还可以表⽰为11.11×2^2，那我们总不能任意地表⽰⼀个数吧，另外还有⼀个问题就是，如果尾数位数只有4位，我们想要表⽰同⼀个数1111采取两种⽅法，⼀个是 0.0111x2^5 和 0.1111×2^4（⼆者最⾼为是数符位S），我们可以很清晰地看到，如果采⽤阶码为5的⽅法，我们损失了⼀位精度，阶码为4的⽅法表⽰这个数更为精确。
所以，为了提⾼运算精度，就要充分利⽤尾数的有效数位，也就是浮点数的规格化，即规定尾数的最⾼数位必须是⼀个有效值。⾮规格化数转变为规格化数，转变过程就是通过调整尾数和阶码的⼤⼩，使尾数最⾼位保证是⼀个有效值。通常有两种规格化操作：
左规：当浮点数运算结果是⾮规格化数的时候，要进⾏规格化操作，将尾数算术左移⼀位，阶码减1（基数为2时），左规操作可能要进⾏多次。
右规：当浮点数运算结果尾数出现溢出的时候，将尾数算术右移⼀位，阶码加1。需要右规操作的时候只需要操作⼀次。
规格化浮点数的尾数M的绝对值应该满⾜这样的关系：1/r ≤ |M| ≤ 1（r就是我们的阶码的底，也是基数）。
以r=2为例：
1、原码尾数规格化后：正数为0.1xxxxxx形式，最⼤值为1；最⼩值为0。负数为1.1xxxxxx形式，最⼤值表⽰为
浮点数的基数什么意思
0；最⼩值表⽰为1。
2、补码尾数规格化后：正数同原码正数。负数为1.0xxxxxx形式，最⼤值表⽰为1；最⼩值表⽰为0。
需要注意的是基数，刚刚是以基数为2时的规格化形式，补码规格化数的尾数最⾼位⼀定与尾数符号位相反。基数不同的时候，规格化的形式不同，当基数为4时，原码规格化形式的尾数最⾼两位不全为0；基数为8时，原码规格化形式的尾数最⾼三位不全为0。
如何判断⼀个浮点数是否是规格化数：规格化浮点数的尾数⼩数点后的第⼀位⼀定是个⾮零的数。因此对于原码编码的尾数来说，只要看尾数的第⼀位是否为1就⾏；对于补码表⽰的尾数，只要看符号位和尾数最⾼位是否相反。（IEEE 754标准的浮点数尾数是⽤原码编码的）
3、IEEE 754标准
IEEE 754标准采⽤的浮点数的格式：
ms为数符，表⽰浮点数的符号，E为阶码部分，⽤移码表⽰，M是尾数部分，⽤原码表⽰。
IEEE 754标准规定常⽤的浮点数格式有短浮点数（单精度、float）、长浮点数（双精度、double型）
、临时浮点数。
短浮点数数符占1位；阶码占8位，以2为底，⽤移码表⽰，阶码偏置值为127（阶码全1表⽰⽆限⼤，E的范围是1~254，空出全0表⽰⾮规格化数）；尾数部分为23位。
长浮点数数符占1位；阶码占11位，以2为底，⽤移码表⽰，阶码偏置值为1023（阶码全1表⽰⽆限⼤，E的范围是1~2046，空出全0表⽰⾮规格化数）；尾数部分为52位。
在IEEE754标准中长浮点数和短浮点数的尾数采⽤隐藏位策略的原码表⽰，什么意思呢。举个例⼦来说，以短浮点数为例，尾数占23位。我们知道，规格化浮点数后，尾数最⾼位⼀定是⼀位有效值，对于⼆进制浮点数来说，尾数最⾼位⼀定是1，那么我们为了充分利⽤资源，既然最⾼位⼀定是1了，我们⼲脆就把它隐藏好了，因此尾数实际上是24位，在表⽰的时候尾数23位是纯⼩数。⽐如说⼗进制
12（1100），转化为⼆进制浮点数规格化后为1.1×2^3，这⾥我们就把整数部分的1 隐藏了，整数部分的1不存在23位尾数中，存的时候就是这样的32位：0  1000 0010  1000 0000 0000 0000 0000 000。
⼆、浮点数的加减运算
浮点数运算的特点是阶码运算和尾数运算分开来算。加减运算⼀律采⽤补码。具体运算分为以下⼏步。
1、对阶：对阶的⽬的是让两个数⼩数点的位置看齐，使这两个数的阶码相等。显然1.1×2^3和1.1×2^4是不能直接相加减的。原则是⼩阶向⼤阶看齐，像这个例⼦，就是1.1×2^3的尾数右移⼀位，阶码加⼀，直到两个数的阶码相等。
2、尾数求和：阶码对齐之后就可以直接按照定点数的加减法则运算尾数了。
3、规格化：尾数求和后的结果如果不是规格化数需要规格化，以双符号位运算为例的话，如果运算结果为正数，规格化的形式应该是，如果运算结果为负数，规格化后的形式应该是，不符合这种形式的数要进⾏左规或者右规的操作让其变成这种形式。（在尾数没有溢出的情况下，即尾数结果的双符号为不是10或01的时候，操作都是左规操作，左规操作可能不⽌进⾏⼀次，倘若双符号位为01或10则表明尾数已经溢出了，就要进⾏右规操作，右规只需要进⾏⼀次）
4、舍⼊：在对阶和右规的操作中，我们都是将尾数右移，阶码加⼀，由于我们的位数是有限的，在右移的操作过程中很有可能就将低位的尾数丢失了，这会引起误差和精度问题。常⽤的减⼩误差的⽅法有“0”舍“1”⼊法：即在尾数右移时，被移去的最⾼数值位为0则舍去，如果被移去的最⾼数值位为1则在尾数末位加1，如果加1之后⼜产⽣溢出则再右规操作⼀次。恒置“1”法：看名字就可以知道，⽆论丢掉的最⾼数值位是1还是0，都使右移后的尾数末位置1。这种⽅法可能使尾数变⼤或者变⼩。
5、溢出判断：既然定点数运算可能溢出，浮点数同样也会溢出，我们已经知道浮点数的表⽰⽅法和加
减运算规则，既然是溢出，那么肯定是超出了浮点数能表⽰的范围，浮点数的范围主要是由阶码决定的，如果运算结果规格化后阶码产⽣了溢出，那才是浮点数的溢出。浮点数的溢出与否是由阶码的符号决定的。以双符号位的补码为例，如果阶码的符号位出现01或10则说明阶码溢出了，01表⽰阶码⼤于最⼤阶码，上溢，进⼊中断处理；10表⽰阶码⼩于最下阶码，下溢，按机器零处理。（溢出时真值的符号位和⾼位符号位保持⼀致）还要注意的⼀点是尾数之和（差）可能会造成尾数的溢出，这并不代表整个的溢出，需要右规⼀次看阶码是否溢出才能判断。
以上便是我学习浮点数的时候结合书与⾃⼰的理解做出的总结，例⼦都是以基数为2时举的，如果有错误还望指明。

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