在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数，典型的比如定点数。在定点数表达方式中，小数点位置固定，而计算机字长有限，所以定点数无法表达很大和很小的实数。最终，计算机科学发展出了表达范围更大的表达方式——浮点数，浮点数也是对实数的一种近似表达。
1.浮点数表达方式
我们知道任何一个R 进制数N 均可用下面的形式表示：N R =±S ×R ±e
其中，S—尾数，代表N 的有效数字；
R—基值，通常取2、8、16；e—阶码，代表N 的小数点的实际位置(相当于数学中的指数)。
比如一个十进制数的浮点表达1.2345×102，其中1.2345为尾数，10为基数，2为阶码。一个二进制数的浮点表达0.001001×25，0.001001为尾数，2为基数，5为阶码；同时0.001001×25也可以表示成0.100100×23，0.100100为尾数，2为基数，3为阶码。浮点数就是利用阶码e 的变化达到浮动小数点的效果，从而灵活地表达更大范围的实数。
2.浮点数的规格化
一个数用浮点表示时，存在两个问题：一是如何尽可能多得保留有效数字；二是如何保证浮点表示的唯一。
对于数0.001001×25，可以表示成0.100100×23、0.00001001×27等等，所以对于同一个数，浮点有多种表示(也就是不能唯一表示)。另外，如果规定尾数的位数为6位，则0.00001001×27会丢掉有效数字，变成0.000010×27。因此在计算机中，浮点数通常采用规格化表示方法。
当浮点数的基数R 为2，即采用二进制数时，规格化尾数的定义为：1/2<=|S|<1。若尾数采用原码(1位符号位+n 位数值)表示，[S]原=S f S 1S 2S 3…S n (S f 为符号位的数符)，则满足S 1=1的数称为规格化数。即当尾数的最高有效位S 1=1，[S]原=S f 1S 2S 3…S n ，表示该浮点数为规格化数。对0.001001×25进行规格化后，表示为0.100100×23。
3.浮点数的表示范围
求浮点数的表示范围，实质是求浮点数所能表示的最小负数、最大负数、最小正数和最大正数。
图1浮点数的表示范围
由图可见，0以及处于最大负数到最小负数之间(负数区)、最小正数到最大正数之间(正数区)的数为浮点数所能正确表达的数；处于最大负数和最小正数之间(下溢区)的浮点数，由于其绝对值小于机器可表示的数值，在计算机中通常作为0来处理，称为机器0；大于最大正数或小于最小负数(上溢区)的浮点数由于其绝对值大于机器所能表示的数值，因此计算机将进行溢出处理。
4.IEEE754浮点数标准
由于不同机器所选用的基数、尾数位和阶码位长度不同，因此对浮点数的表示有很大的差别，这不利于软件在不同计算机之间的移植。为此，美国IEEE提出了一个从系统结构角度支持浮点数的表示方法，称为IEEE754标准，当今流行的计算机几乎都采用了这一标准。
在IEEE754标准中，每个浮点数均由三部分组成：符号位S、指数部分E 和尾数部分M。如下图所示。
图2IEEE754标准
IEEE754浮点数据编码标准中，32位单精度浮点数表示格式如下图所示。浮点数的基数什么意思
图3IEEE75标准中32位单精度浮点数表示格式
各部分规定如下。
S：数符，0表示正，1表示负。
E：指数，即阶码部分。其中包括1位阶符+7位数值。采用移127码，移码值为127。
M：尾数共23位，用规格化表示。由于尾数采用规格化表示，所以IEEE754标准约定在小数点左边有一位隐含位1，从而使尾数的实际有效位为24位，即尾数的有效值为1.M。
根据上述规定可知，32位的单精度浮点数所表示的数值N为：
N=−1S×1.M×2E−127
IEEE754标准32位单精度浮点数N的解释如下：
若E=0，且M=0，则N为0。
若E=0，且M!=0，则N=(-1)S×2-126×(0.M)，为非规格化数。
若1<=E<=254，则N=(-1)S×2E-127×(1.M)，为规格化数。
若E=255，且M!=0，则N=NaN(非数值)。
若E=255，且M=0，则N=(-1)S×∞(无穷大)。
IEEE754标准使0有了精确表示，同时也明确地表示了无穷大。当a/0(a!=0)时得到的结果为+/-∞；当0/0时得到的结果为NaN。对于绝对值较小的数，为了避免下溢而损失精度，允许采用比最小规格化数还要小的非规格化数来表示。应该注意的是，非规格化数和正、负0的尾数M的前隐含位的值是0，不是1。
5.浮点数的精度问题
单精度浮点数以有限的32bit长度来反映无限的实数集合，因此大多数情况下都是一个近似值。
我们知道单精度浮点数的尾数是24位(包括其中的一位隐藏位)存储的。
lg224=7.22
由上计算，单精浮点数可以保证7位十进制有效数字。
6.浮点加减运算
设有两个浮点数x和y，它们的规格化表示分别为：
x=M x×2Ex
y=M y×2Ey
其中E x和E y分别为x和y的阶码，M x、M y分别为x和y的尾数，则浮点数的加减运算可表示为：
x±y=2Ex×M x±2Ey×M y=M x×2Ex−Ey±M y×2Ey Ex≤Ey
M x±M y×2Ey−Ex×2Ex(Ex＞Ey)之所以要这样分类，是因为要遵循“小阶向大阶靠拢”的对阶原则，下面会有详细的解释。根据公式，可总结出浮点数运算的几个步骤：
1）0操作数检查
浮点数的运算过程比较复杂，如果能判断出两个操作数中有一个为0，那么运算结果马上可知，而不必进行后续的一系列操作，以节省运算时间。
2）对阶
两个浮点数相加减，首先要看它们的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。如果阶码相同，则表示
小数点位置是对齐的，尾数就可以直接进行加减运算；反之若两数阶码不同，则表示小数点位置没有对齐，不能直接进行加减运算。此时，必须通过“对阶”过程使两数的阶码相同，也就是使两数的小数点位置对齐。
要对阶就要改变两数中一个数的阶码，表面上看来改变哪一个都可以。由于随着阶码的改变，尾数也要做相应的移动才能使浮点数据的值保持不变，所以如果阶码变大，尾数要右移；阶码变小，尾数要左移。尾数的左右移都会造成有效数据的移出与丢失，但是右移丢失的是最低有效位，而左移丢失的却是最高有效位。显然，右移更能减小数据误差。所以，对阶必须遵循“小阶向大阶靠拢”的原则。两数中阶码较小的那个数的阶码要变大，变成和另一个数的阶码一样，而这个数的尾数要作相应的右移，右移多少取决于阶码变大多少。阶码每增加1，尾数要相应右移1位，相当于小数点左移1位。
对阶时，一般首先求出两数阶码之差，即
△E=Ex–Ey
如果△E=0，说明两数阶码相等，无需对阶；如果△E>0，表示Ex>Ey，Ey 要向Ex靠拢，其尾数M y要做相应右移；如果△E<0，表示Ex<Ey，Ex要向Ey 靠拢，其尾数M x要做相应右移。
3）尾数相加
对阶完成后，表示两数的小数点已经对齐，可以直接进行尾数的加减运算。无论加法运算还是减法运算，都与定点数补码运算一样，按加法进行操作。要注意的是，相加过程中没有溢出，也就是对于定点数来说是溢出的结果，对于浮点数尾数相加来说是很正常的事情，所以我们常用双符号位表示尾数。
4）结果规格化
尾数相加完成之后，还需要进行规格化的判定，如果不满足规格化要求，则要对结果作规格化处理。尾数的规格化处理有两种情况：
如果尾数相加结果的两个符号位数据不相等，表明运算结果的尾数的绝对值大于1，因此要“向右规格化”。由于尾数相加的绝对值不可能超过2，因此向右规格化肯定是尾数右移1位，阶码加1。
如果尾数相加结果的符号位与数据最高位相等，表示数据没有规格化，尾数要“向左规格化”，即尾数左移n位，阶码相应减n。
5）舍入处理
在对阶和向右规格化的过程中，尾数都要向右移位，这样尾数的低位部分可能会丢失，从而造成一定的误差。为了减少误差，要进行舍入处理，常用的舍入方法有两种：
(1)0舍1入
“0舍1入”，就是指尾数右移时被丢掉的数据的最高位如果是0，那就舍去；如果是1，就在尾数的最低位加上“1”。这种方法，实际上类似于我们平时所说的“四舍五入”。
这种方法的优点是每次舍入产生的误差小，误差控制在2-(n+1)范围内，而且也不会造成误差的累积；但缺点是要进行一次“加1”运算，特殊情况下还有可能造成再次“向右规格化”的现象。
(2)恒置1
“恒置1”，就是指尾数右移时，只要发生低位数据的丢失，尾数的最低位就被设定为1。
这种方法每次舍入所产生的误差比“0舍1入”要大一点，误差控制在2-n 范围内，而且也不会造成误差的累积。其关键特点是舍入处理时无需进行加法运算，所以速度快，也不会造成再次“向右规格化”的现象。
6）溢出处理
尾数相加的溢出不是真正的溢出，可以借由向右规格化作出调整。那么，浮点数的运算会不会产生溢出？什么时候才是真正的溢出呢？
当浮点数在做向左或向右规格化的过程中，阶码也会做相应的调整，也就是说，阶码可能要加上1(向右规格化)或者减去n(向左规格化，n为尾数左移的位数)。显然，这些时候都有可能产生阶码溢出现象。
如果阶码减去n发生阶码溢出，也就是发生阶码的下溢，表示运算结果的精度超出了该浮点数可以表示的范围，也就是运算结果趋近于0。在这种情况下，机器一般认为运算结果就是0；如果阶码加上1发生阶码溢出，也就是发生阶码的上溢，表示数据超出了浮点数可表示的范围，一般认为是+∞或-∞(依赖于尾数的正负)。这种情况才是真正的溢出，机器的溢出标志会被置“1”。
综上所述，浮点数运算真正的溢出，是指在尾数相加的时候发生尾数上溢，并在向右规格化的时候使阶码也发生上溢。
7.浮点乘除法运算
设有两个浮点数x和y，它们的规格化表示分别为：
x=M x×2Ex
y=M y×2Ey
其中Ex和Ey分别为x和y的阶码，Mx、My分别为x和y的尾数。则，两数相乘为：
x×y=M x×2Ex×M y×2Ey=2Ex+Ey×M x×M y 也就是说，两个浮点数相乘的结果就是它们的阶码相加，尾数相乘。
同理，两数相除的结果为：
x/y=M x×2Ex/M y×2Ey=2Ex−Ey×M x/M y
也就是说，两个浮点数相除的结果就是它们的阶码相减，尾数相除。
这样，浮点数的乘除运算就可以转化成定点数的加、减、乘、除运算。
无论是浮点数的乘法还是除法，都可以分为下面4个运算步骤：
1.0操作数检查;
2.阶码加/减操作
3.尾数乘/除操作
4.规格化处理与舍入

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