巧用Excel求函数的近似零点
南京外国语学校仙林分校(210000)  周永道
新课程标准数学必修1新增了用二分法求函数的近似零点内容,其目的是让学生加深对算法思想的理解,体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用,适应现代信息技术飞速发展的需要.
二分法比较抽象,学生不易理解,加之运算繁杂,增添了学习与教学的难度.即便使用计算器,也难逃算错或费时的命运.本文介绍利用Excel表格求函数近似零点的方法,能方便准确地求出函数的近似零点,供读者参考.
利用Excel求函数的近似零点的一般步骤:
(1)用Excel表格确定零点的大致位置;
(2)用Excel表格求零点的近似值;
(3)写出符合题意近似要求的近似零点.
1  求函数f(x)=x3-3x2+2x-5的近似零点(精确到0.001).
  先寻函数零点的位置,如下表1:
x
-1
0
1
2
3
4
f(x)
-11
-5
-5
-5
1
19
(表1)
由表1可知,函数的零点在区间(2,3).
用二分法求函数的近似零点.利用Excel表格逐步计算,如下表2:
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
 
f(2)<0, f(3)>0
2
3
1
2.5
-3.125
2.5
3
0.5
2.75
-1.390625
2.75
3
0.25
2.875
-0.283203125
2.875
3
0.125
2.9375
0.335693359
2.875
2.9375
0.0625
2.90625
0.0206604
2.875
2.90625
0.03125
2.890625
-0.132656097
2.890625
2.90625
0.015625
2.8984375
-0.056345463
2.8984375
2.90625
0.0078125
2.9023438
-0.017929614
2.90234375
2.90625
0.00390625
2.9042969
0.0013436
2.90234375
2.904296875
0.001953125
2.9033203
 
 
 
 
(表2)
由表2可知,单元格E11的误差值|anbn|=0.001953125<0.002,函数的近似零点是x≈=2.9033203.
Excel操作:
表1中的数值与公式的输入:
x
0
1
2
3
4
f(x)
=B1^3-3*B1^2+2*B1-5
其中C2、D2、E2、F2不必输入公式,可选中B2单元格,然后对准单元格右下方“+”向右拖动鼠标就得到表1中的数据.
    表2中的数值与公式的输入:
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
 
f(-1)<0, f(0)>0
2
3
=D2-C2
=(C2+D2)/2
=A3^3-3*A3^2+2*A3-5
=IF(B3<0,A3,C2)
=IF(B3>0,A3,D2)
 
 
 
 
 
 
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格,对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表2中的数据.单元格C3“=IF(B3<0,A3,C2)”的含义:如果B3的值<0,则C3的值=A3的值,否则C3的值=C2的值.
点评:从上述操作过程可以看出,用Excel求函数的零点,不仅快速准确,而且只要拖动鼠标,精确度可达到任意指定的要求.
2  求函数f(x)=lnx-x2+10的近似零点(精确到0.01).
:先寻函数零点的位置,如下表3:
x
1
2
3
4
5
f(x)
9
6.693147
2.098612
-4.61371
-13.3906
(表3)
由表3可知,函数的零点在区间(3,4).
用二分法求函数的近似零点.利用Excel表格逐步计算,如下表4:
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
 
f(3)>0, f(4)<0
3
4
1
3.5
-0.997237032
3
3.5
0.5
3.25
0.616154996
3.25
3.5
0.25
3.375
-0.174229676
3.25
3.375
0.125
3.3125
0.225046941
3.3125
3.375
0.0625
3.34375
0.026428869
3.34375
3.375
0.03125
3.359375
-0.073645446
3.34375
3.359375
0.015625
3.351563
(表4)
由表4可知,单元格E8的误差值|an-bn|=0.015625<0.02,函数的一个近似零点是x≈=3.351563.
Excel操作:
表3中的数值与公式的输入:
x
1
2
3
4
5
f(x)
=LN(B1)-B1^2+10
对准单元格B2右下方“+”向右拖动鼠标得到表3中的数据.
表4中的数值与公式的输入:
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
 
f(3)>0, f(4)<0
3
4
=D2-C2
=(C2+D2)/2
=LN(A3)-A3^2+10
=IF(B3>0,A3,C2)
=IF(B3<0,A3,D2)
 
 
 
 
 
 
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格,对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表4中的数据.
3 求方程2x=x2 的解或近似解(精确到0.01).
:设f(x)=2x-x2.先寻函数零点的位置,如下表5:
x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
-3.75
-0.5
1
1
0
-1
0
7
28
(表5)
由表5可知,函数的共有三个零点x1=2,x2=4,第三个零点x3在区间(-1,0)内.
用二分法求函数的近似零点x3.利用Excel表格逐步计算,如下表6:
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
 
f(-1)<0, f(0)>0
-1
0
1
-0.5
0.457106781
-1
-0.5
0.5
-0.75
0.032103558
-1
-0.75
0.25
-0.875
-0.220371134
-0.875
-0.75
0.125
-0.8125
-0.090761933
-0.8125
-0.75
0.0625
-0.78125
-0.028489133
-0.78125
-0.75
0.03125
-0.76563
0.002016855
-0.78125
-0.765625
0.015625
-0.77344
(表6)
由表6可知,单元格E8的误差值|an-bn|=0.015625<0.02,函数的近似零点是x3=-0.77344.从而方程2x=x2 的解为x1=2,x2=4,近似解为x3≈-0.77344.
Excel操作:
表5中的数值与公式的输入:
x
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
=2^B1-B1^2
对准单元格B2右下方“+”向右拖动鼠标得到表5中的数据.
    表6中的数值与公式的输入:
excel表格随机函数
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
 
f(-1)<0, f(0)>0
-1
0
=D2-C2
=(C2+D2)/2
=2^A3-A3^2
=IF(B3<0,A3,C2)
=IF(B3>0,A3,D2)
 
 
 
 
 
 
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格,对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表6中的数据.

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