巧用Excel求函数的近似零点
南京外国语学校仙林分校(210000) 周永道
新课程标准数学必修1新增了用二分法求函数的近似零点内容,其目的是让学生加深对算法思想的理解,体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用,适应现代信息技术飞速发展的需要.
二分法比较抽象,学生不易理解,加之运算繁杂,增添了学习与教学的难度.即便使用计算器,也难逃算错或费时的命运.本文介绍利用Excel表格求函数近似零点的方法,能方便准确地求出函数的近似零点,供读者参考.
利用Excel求函数的近似零点的一般步骤:
(1)用Excel表格确定零点的大致位置;
(2)用Excel表格求零点的近似值;
(3)写出符合题意近似要求的近似零点.
例1 求函数f(x)=x3-3x2+2x-5的近似零点(精确到0.001).
解 先寻函数零点的位置,如下表1:
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | -11 | -5 | -5 | -5 | 1 | 19 |
(表1)
由表1可知,函数的零点在区间(2,3).
用二分法求函数的近似零点.利用Excel表格逐步计算,如下表2:
中点坐标 | 中点函数值 | 区间左端点 | 区间右端点 | 误差值|an-bn| |
f(2)<0, f(3)>0 | 2 | 3 | 1 | |
2.5 | -3.125 | 2.5 | 3 | 0.5 |
2.75 | -1.390625 | 2.75 | 3 | 0.25 |
2.875 | -0.283203125 | 2.875 | 3 | 0.125 |
2.9375 | 0.335693359 | 2.875 | 2.9375 | 0.0625 |
2.90625 | 0.0206604 | 2.875 | 2.90625 | 0.03125 |
2.890625 | -0.132656097 | 2.890625 | 2.90625 | 0.015625 |
2.8984375 | -0.056345463 | 2.8984375 | 2.90625 | 0.0078125 |
2.9023438 | -0.017929614 | 2.90234375 | 2.90625 | 0.00390625 |
2.9042969 | 0.0013436 | 2.90234375 | 2.904296875 | 0.001953125 |
2.9033203 | ||||
(表2)
由表2可知,单元格E11的误差值|an-bn|=0.001953125<0.002,∴函数的近似零点是x≈=2.9033203.
Excel操作:
表1中的数值与公式的输入:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | =B1^3-3*B1^2+2*B1-5 | ||||
其中C2、D2、E2、F2不必输入公式,可选中B2单元格,然后对准单元格右下方“+”向右拖动鼠标就得到表1中的数据.
表2中的数值与公式的输入:
中点坐标 | 中点函数值 | 区间左端点 | 区间右端点 | 误差值|an-bn| |
f(-1)<0, f(0)>0 | 2 | 3 | =D2-C2 | |
=(C2+D2)/2 | =A3^3-3*A3^2+2*A3-5 | =IF(B3<0,A3,C2) | =IF(B3>0,A3,D2) | |
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格,对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表2中的数据.单元格C3“=IF(B3<0,A3,C2)”的含义:如果B3的值<0,则C3的值=A3的值,否则C3的值=C2的值.
点评:从上述操作过程可以看出,用Excel求函数的零点,不仅快速准确,而且只要拖动鼠标,精确度可达到任意指定的要求.
例2 求函数f(x)=lnx-x2+10的近似零点(精确到0.01).
解:先寻函数零点的位置,如下表3:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
f(x) | 9 | 6.693147 | 2.098612 | -4.61371 | -13.3906 |
(表3)
由表3可知,函数的零点在区间(3,4).
用二分法求函数的近似零点.利用Excel表格逐步计算,如下表4:
中点坐标 | 中点函数值 | 区间左端点 | 区间右端点 | 误差值|an-bn| |
f(3)>0, f(4)<0 | 3 | 4 | 1 | |
3.5 | -0.997237032 | 3 | 3.5 | 0.5 |
3.25 | 0.616154996 | 3.25 | 3.5 | 0.25 |
3.375 | -0.174229676 | 3.25 | 3.375 | 0.125 |
3.3125 | 0.225046941 | 3.3125 | 3.375 | 0.0625 |
3.34375 | 0.026428869 | 3.34375 | 3.375 | 0.03125 |
3.359375 | -0.073645446 | 3.34375 | 3.359375 | 0.015625 |
3.351563 | ||||
(表4)
由表4可知,单元格E8的误差值|an-bn|=0.015625<0.02,∴函数的一个近似零点是x≈=3.351563.
Excel操作:
表3中的数值与公式的输入:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
f(x) | =LN(B1)-B1^2+10 | ||||
对准单元格B2右下方“+”向右拖动鼠标得到表3中的数据.
表4中的数值与公式的输入:
中点坐标 | 中点函数值 | 区间左端点 | 区间右端点 | 误差值|an-bn| |
f(3)>0, f(4)<0 | 3 | 4 | =D2-C2 | |
=(C2+D2)/2 | =LN(A3)-A3^2+10 | =IF(B3>0,A3,C2) | =IF(B3<0,A3,D2) | |
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格,对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表4中的数据.
例3 求方程2x=x2 的解或近似解(精确到0.01).
解:设f(x)=2x-x2.先寻函数零点的位置,如下表5:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
f(x) | -3.75 | -0.5 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 | 7 | 28 |
(表5)
由表5可知,函数的共有三个零点x1=2,x2=4,第三个零点x3在区间(-1,0)内.
用二分法求函数的近似零点x3.利用Excel表格逐步计算,如下表6:
中点坐标 | 中点函数值 | 区间左端点 | 区间右端点 | 误差值|an-bn| |
f(-1)<0, f(0)>0 | -1 | 0 | 1 | |
-0.5 | 0.457106781 | -1 | -0.5 | 0.5 |
-0.75 | 0.032103558 | -1 | -0.75 | 0.25 |
-0.875 | -0.220371134 | -0.875 | -0.75 | 0.125 |
-0.8125 | -0.090761933 | -0.8125 | -0.75 | 0.0625 |
-0.78125 | -0.028489133 | -0.78125 | -0.75 | 0.03125 |
-0.76563 | 0.002016855 | -0.78125 | -0.765625 | 0.015625 |
-0.77344 | ||||
(表6)
由表6可知,单元格E8的误差值|an-bn|=0.015625<0.02,∴函数的近似零点是x3≈=-0.77344.从而方程2x=x2 的解为x1=2,x2=4,近似解为x3≈-0.77344.
Excel操作:
表5中的数值与公式的输入:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
f(x) | =2^B1-B1^2 | |||||
对准单元格B2右下方“+”向右拖动鼠标得到表5中的数据.
表6中的数值与公式的输入:
中点坐标 | 中点函数值 | 区间左端点 | 区间右端点 | 误差值|an-bn| |
f(-1)<0, f(0)>0 | -1 | 0 | =D2-C2 | |
=(C2+D2)/2 | =2^A3-A3^2 | =IF(B3<0,A3,C2) | =IF(B3>0,A3,D2) | |
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格,对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表6中的数据.
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