巧用Excel求函数的近似零点
南京外国语学校仙林分校(210000)  周永道
新课程标准数学必修1新增了用二分法求函数的近似零点内容，其目的是让学生加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用，适应现代信息技术飞速发展的需要．
二分法比较抽象，学生不易理解，加之运算繁杂，增添了学习与教学的难度．即便使用计算器，也难逃算错或费时的命运．本文介绍利用Excel表格求函数近似零点的方法，能方便准确地求出函数的近似零点，供读者参考．
利用Excel求函数的近似零点的一般步骤：
(1)用Excel表格确定零点的大致位置；
(2)用Excel表格求零点的近似值；
(3)写出符合题意近似要求的近似零点．
例1  求函数f(x)＝x3－3x2＋2x－5的近似零点(精确到0.001)．
解  先寻函数零点的位置，如下表1：
x
-1
0
1
2
3
4
f(x)
-11
-5
-5
-5
1
19
（表1）
由表1可知，函数的零点在区间(2，3)．
用二分法求函数的近似零点．利用Excel表格逐步计算，如下表2：
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
　
f(2)<0, f(3)>0
2
3
1
2.5
-3.125
2.5
3
0.5
2.75
-1.390625
2.75
3
0.25
2.875
-0.283203125
2.875
3
0.125
2.9375
0.335693359
2.875
2.9375
0.0625
2.90625
0.0206604
2.875
2.90625
0.03125
2.890625
-0.132656097
2.890625
2.90625
0.015625
2.8984375
-0.056345463
2.8984375
2.90625
0.0078125
2.9023438
-0.017929614
2.90234375
2.90625
0.00390625
2.9042969
0.0013436
2.90234375
2.904296875
0.001953125
2.9033203
　
　
　
　
（表2）
由表2可知，单元格E11的误差值|an－bn|＝0.001953125＜0.002，∴函数的近似零点是x≈＝2.9033203．
Excel操作：
表1中的数值与公式的输入：
x
0
1
2
3
4
f(x)
=B1^3-3*B1^2+2*B1-5
其中C2、D2、E2、F2不必输入公式，可选中B2单元格，然后对准单元格右下方“+”向右拖动鼠标就得到表1中的数据．
    表2中的数值与公式的输入：
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
　
f(-1)<0, f(0)>0
2
3
=D2-C2
=(C2+D2)/2
=A3^3-3*A3^2+2*A3-5
=IF(B3<0,A3,C2)
=IF(B3>0,A3,D2)
　
　
　
　
　
　
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格，对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表2中的数据．单元格C3“=IF(B3<0,A3,C2)”的含义：如果B3的值＜0，则C3的值＝A3的值，否则C3的值＝C2的值．
点评：从上述操作过程可以看出，用Excel求函数的零点，不仅快速准确，而且只要拖动鼠标，精确度可达到任意指定的要求．
例2  求函数f(x)＝lnx－x2＋10的近似零点(精确到0.01)．
解：先寻函数零点的位置，如下表3：
x
1
2
3
4
5
f(x)
9
6.693147
2.098612
-4.61371
-13.3906
(表3)
由表3可知，函数的零点在区间(3，4)．
用二分法求函数的近似零点．利用Excel表格逐步计算，如下表4：
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
　
f(3)>0, f(4)<0
3
4
1
3.5
-0.997237032
3
3.5
0.5
3.25
0.616154996
3.25
3.5
0.25
3.375
-0.174229676
3.25
3.375
0.125
3.3125
0.225046941
3.3125
3.375
0.0625
3.34375
0.026428869
3.34375
3.375
0.03125
3.359375
-0.073645446
3.34375
3.359375
0.015625
3.351563
（表4）
由表4可知，单元格E8的误差值|an－bn|＝0.015625＜0.02，∴函数的一个近似零点是x≈＝3.351563．
Excel操作：
表3中的数值与公式的输入：
x
1
2
3
4
5
f(x)
=LN(B1)-B1^2+10
对准单元格B2右下方“+”向右拖动鼠标得到表3中的数据．
表4中的数值与公式的输入：
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
　
f(3)>0, f(4)<0
3
4
=D2-C2
=(C2+D2)/2
=LN(A3)-A3^2+10
=IF(B3>0,A3,C2)
=IF(B3<0,A3,D2)
　
　
　
　
　
　
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格，对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表4中的数据．
例3 求方程2x＝x2 的解或近似解(精确到0.01)．
解：设f(x)＝2x－x2．先寻函数零点的位置，如下表5：
x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
-3.75
-0.5
1
1
0
-1
0
7
28
(表5)
由表5可知，函数的共有三个零点x1＝2，x2＝4，第三个零点x3在区间(－1，0)内．
用二分法求函数的近似零点x3．利用Excel表格逐步计算，如下表6：
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
　
f(-1)<0, f(0)>0
-1
0
1
-0.5
0.457106781
-1
-0.5
0.5
-0.75
0.032103558
-1
-0.75
0.25
-0.875
-0.220371134
-0.875
-0.75
0.125
-0.8125
-0.090761933
-0.8125
-0.75
0.0625
-0.78125
-0.028489133
-0.78125
-0.75
0.03125
-0.76563
0.002016855
-0.78125
-0.765625
0.015625
-0.77344
(表6)
由表6可知，单元格E8的误差值|an－bn|＝0.015625＜0.02，∴函数的近似零点是x3≈=－0.77344．从而方程2x＝x2 的解为x1＝2，x2＝4，近似解为x3≈－0.77344．
Excel操作：
表5中的数值与公式的输入：
x
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
=2^B1-B1^2
对准单元格B2右下方“+”向右拖动鼠标得到表5中的数据．
    表6中的数值与公式的输入：
excel表格随机函数
中点坐标
中点函数值
区间左端点
区间右端点
误差值|an-bn|
　
f(-1)<0, f(0)>0
-1
0
=D2-C2
=(C2+D2)/2
=2^A3-A3^2
=IF(B3<0,A3,C2)
=IF(B3>0,A3,D2)
　
　
　
　
　
　
分别选中A3、B3、C3、D3、E2单元格，对准单元格右下方“+”向下拖动鼠标可得到表6中的数据．

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