第四章  指数函数与对数函数
4.4.2 对数函数的图像和性质
本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.2节《对数函数的图像和性质》 是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。
教学重点：掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的对数函数图
象之间的联系。
教学难点： 对数函数的图像与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的联系。
多媒体
教学过程
设计意图
核心教学素养目标 （一）、问题探究
思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？
问题1. 利用“描点法”作函数2log y x =和1
2
log y x =的图像． 函数的定义域为(0,)+∞，取x 的一些值，列表如下： x
…
1    2    4 …
… 2[ -1 0
1[来
源:]
2 …
…    2    1 0 -1 -2 …
问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如  2log y x =和
12
log y x
=的图
像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图
象画出另一个函数的图象？ 发现：函数2log y x =和
12
对数函数图像及性质log y x
=的图像都在y 轴的右边，关于x 轴对称
问题3：底数a （a ＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标
温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾，提
出新的问题，提出研究对数函数
图像与性质的方法。培养和发展
逻辑推理和数学抽象的核心素养。
1
4
12
2log y x =12
log y x
=
系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性
由此你能概括出对数函数log a y x =（a ＞０，且a≠１）的值域和性质吗？ 结论1．函数2log y x =和12
log y x
=的图像都在y 轴的右边；
2．图像都经过点()1,0；
3．函数2log y x =的图像自左至右呈上升趋势；函数12
log y x
=的图像自
左至右呈下降趋势．
观察两幅图象，得到a>1和0<a<1时对数函数的图象和性质。
对数函数的性质的助记口诀：对数增减有思路,  函数图象看底数; 底数只能大于0,  等于1来也不行；底数若是大于1,  图象从下往上增；底数0到1之间,    图象从上往下减；无论函数增和减,  图象都过(1,0)点.  （二）、典例解析 例1 比较下面两个值的大小 ⑴
log
4.32
，log 5
.82；⑵
log
8
.13
.0，log 7
.23.0⑶ log 1.5a
，log 9
.5a ( a ＞0 , a≠1 )
解析：（1）：用对数函数的单调性，考察函数y=log 2
x  ∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5，∴ log 2
3.4< log 2
8.5（2）：
考察函数y=log
0.3
x  , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上
是减函数；∵1.8<2.7 ∴ log
0.3
1.8> log
0.3
2.7
（3）：考察函数log a
5.1与 log a
5.9 可看作函数y=log a
x 的两个函值  ,
对数函数的单调性取决于底数a 是大于1还是小于1，因此需要对底数a 进行讨论；当a > 1时, 因为y=log a
x 是增函数，且5.1 <5.9，所以log a
5.1
< log a
5.9 ；当0< a < 1时, 因为y=log a
x 是减函数，且5.1 <5.9，所以log
a
5.1 > log a
5.9 ；
归纳总结：1.当底数相同时，利用对数函数的单调性比较大小. 2.当底数不确定时，要对底数a 与1的大小进行分类讨论. 跟踪训练1． 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log 10
6      log 10
8 ；  ⑵ log 0.5
6        log 0.5
4
⑶ log 0.1
0.5        log 0.1
0.6；⑷ log 1.5
1.6        log 1.5
1.4
答案：＜；＜；＞；＞
跟踪训练2：已知下列不等式，比较正数m ，n 的大小：  (1) log  3
m < log  3
n ；            (2) log  0.3
m > log 0.3
n
(3) log  a
m < log a
n  (0<a<1)；    (4) log  a
m > log a
n  (a>1)
答案：m < n ；m < n ；m > n ；m > n
<:lg[],
[]/.(1)(2)[]10/.
pH pH pH H H pH H pH 例2溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过刻画的的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔升，计算纯净水的值
11
(1)lg[]lg[]lg
,[]
pH H H H 解：根据对数的运算性质得
11
(0,
)[]lg .
[][]
,[],,
,.
H pH H H H pH 在上，增大，减小，也减小，即减小所以增大减小即溶液中氢离子的浓度越大其酸碱度就越小
77
(2)[]10lg10
7.7.H pH
pH 当时，即纯净水的是
已知函数 y=2x
（x ∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log 2
y  ，对于任意一个y ∈（0，+∞），通过式子x=log 2y
，x 在R 中都有唯一确定的值和
它对应。也就是说，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这是我们就说x=log
2
y      （y ∈（0，+∞））是函数 y=2x  （  x ∈R ）
的反函数。
但习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数。为此我们常常
对调函数x=log 2
y
中的字母x ，y ，把它写成y=log 2
x  ，这样，对数函数
y=log 2
x （ x ∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x
（x ∈R ）的反函数。
因此，函数 y = log a
x (a ＞0，且a≠1)与指数函数y = a x
互为反函数。它们的
定义域和值域恰好相反。
三、当堂达标
1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值为(  )
A ．5      B.15        C.1e              D.1
2
【答案】A  [由图可知，a >1，故选A.]
2.当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －
x 与y ＝log a x 的图象为(  )
A              B              C        D
【答案】：C  [(1)∵a >1，∴0<<1，∴y ＝a －x
是减函数，y ＝log a
x 是增函
数，故选C.]
3.已知f (x )＝log a
|x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象.
解析： ∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5，∴f (x )＝log 5|x |， ∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．
4．函数f (x )＝log a (2x －5)的图象恒过定点________．
【答案】(3,0) [由2x －5＝1得x ＝3，∴f (3)＝log a 1＝0.即函数f (x )恒过定点(3,0)．]
5.比较下列各组数中两个值的大小:
通过练习巩固本节所学知识，巩固对数函数的概
念，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理
的核心素养。

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