4.4　对数函数
第1课时　对数函数的概念、图象及性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)
2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)
1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．
2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.
1．对数函数的概念
函数y对数函数图像及性质＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
2．对数函数的图象及性质
a的范围
0<a<1
a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(  )
A．5  B.  C.  D.
A　[由图可知，a>1，故选A.]
2．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．
f(x)＝log2x　[设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]
3．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
(－1，＋∞)　[由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]
对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；
④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
⑥y＝logx.其中是对数函数的为(  )
A．③④⑤        B．②④⑥
C．①③⑤⑥      D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f＝__________.
(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4.
(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
∴f＝log2＝－1.]
判断一个函数是对数函数的方法
1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.
2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.]
对数函数的定义域
【例2】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．
(2)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．
(3)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
[解]　(1)要使函数有意义，需满足

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