一、指数的性质
（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念：          
                 
2．整数指数幂的运算性质：（1）    （2）
（3）
其中，    ．
3．的次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，
即： 若，则叫做的次方根，
例如：27的3次方根，  的3次方根，
32的5次方根，  的5次方根．
说明：①若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；
②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根  16的4次方根）
    ③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；
    ④      ∴；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。  ∴．
．
4．的次方根的性质
一般地，若是奇数，则；
            若是偶数，则．
5．例题分析：
例1．求下列各式的值：
    （1）      （2）    （3）      （4）解：略。
例2．已知，  化简：．
解：当是奇数时，原式
    当是偶数时，原式
所以， ．
例3．计算：
解：
例4．求值：．
解：
（二）分数指数幂
1．分数指数幂：      
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，
例如：若，则，， ∴  ．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；
    （2）正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即   
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
    （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
3．例题分析：
例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式：
      ，  ，  .
解： =；
    =；
    =．
例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）；                （2）；
解（1）
      =
      =；
  （2） ==．
例3．计算下列各式：
（1）        （2）．
解：（1）==
        ==；
    （2）=．
（三）综合应用
例1．化简：.
解： ===.
        例2．化简：.
解： ．
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。
例3．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
解：（1）
，
∴，
又由得，∴，
所以.
（2）（法一）
，
（法二）
而
∴，
      又由得，∴，
所以.
二、指数函数
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．
2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：
图象
性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即时
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数
例1．求下列函数的定义域、值域：
（1）    （2）    （3）    （4）．
解：（1）  ∴  原函数的定义域是，
    令则
  ∴得，
所以，原函数的值域是．
（2对数函数图像及性质）  ∴  原函数的定义域是，
    令  则，
    在是增函数    ∴，
    所以，原函数的值域是．
（3）原函数的定义域是，
令  则，
在是增函数，  ∴，
所以，原函数的值域是．
（4）原函数的定义域是，
由得，
    ∴，    ∴，
所以，原函数的值域是．
说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
例2．当时，证明函数是奇函数。
证明：由得，，
故函数定义域关于原点对称。
∴
所以，函数是奇函数。
例3．设是实数，，
（1）试证明：对于任意在为增函数；
（2）试确定的值，使为奇函数。
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。
（1）证明：设，则
，
由于指数函数在上是增函数，且，所以即，
又由，得，，

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。