反三角函数
Inverse trigonometric functions
第1节 反三角函数·概述
原创/O客
把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。
它们都是三角函数的反函数。严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。
以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●反正弦的值域
先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。
正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。因为它在定义域R上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。
但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出 x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。记为y=arc sinx。把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。
●请参考我的三角函数salon
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第2节 反三角函数·理解与转化
原创/O客
反三角函数的所有公式以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●符号理解
初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。
一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。
另一方面，符号arc sinx可以用下面的三句话来理解：
①它是一个角。即一个实数。arc sinx∈R.
②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。-π/2≤arc sinx≤π/2。
③这个角的正弦值等于x。sin(arc sinx)=x.
●互化
反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。
有互化公式（充要条件）如图。
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第3节 反正弦函数的图象和性质
原创/O客
函数名称    反正弦函数
解析式    y=arc sinx
图象    反正弦曲线（图3）
1.定义域    [-1,1]
2.值域    [-π/2, π/2]
3.有界性    |y|≤π/2
4.最值    x=1时，y max=π/2
x=-1时，y min=-π/2
5.单调性    增函数
6.奇偶性    奇函数.
7.周期性    无
8.对称性    关于原点对称
9.反函数    y=arc sinx，x∈[-π/2, π/2]
10.与反余弦的关系 arc sinx+arc cosx=π/2
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第4节 反余弦函数的图象和性质
原创/O客
函数名称    反余弦函数
解析式    y=arc cosx
图象    反余弦曲线（如图）
1.定义域    [-1,1]
2.值域    [0, π]
3.有界性    0≤y≤π
4.最值    x=-1时，y max=π
                x=1时，y min=0
5.单调性    减函数
6.奇偶性    非奇非偶函数
7.周期性    无
8.对称性          对称中心(0, π/2)
9.反函数    y=cosx, x∈[0, π]
10.与反正弦的关系    arc sinx+arc cosx=π/2
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第5节 反正切函数的图象和性质
原创/O客
函数名称    反正切函数
解析式    y=arc tanx
图象    反正切曲线（如图）
1.定义域    R
2.值域    (-π/2, π/2)
3.有界性    |y|<π/2
4.最值    无
5.单调性    增函数
6.奇偶性    奇函数
7.周期性    无
8.对称性          关于原点对称
9.渐近线        y=±π/2
10.反函数    y=tanx, x∈(-π/2, π/2)
11.与反余切的关系    arc tanx+arc cotx=π/2
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第6节 反余切函数的图象和性质
原创/O客
函数名称    反余切函数
解析式    y=arc cotx
图象    反余切曲线（如图）
1.定义域    R
2.值域    (0, π)
3.有界性    0<y<π
4.最值    无
5.单调性    减函数
6.奇偶性    奇函数
7.周期性    无
8.对称性          对称中心(0, π/2)
9.渐近线        y=0，y=π
10.反函数    y=cotx, x∈(0,, π)
11.与反正切的关系    arc tanx+arc cotx=π/2
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第7节  用反三角函数表示角
原创/O客
已知某一个角的三角函数值，如何表示这个角？
以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●一个锐角至少有等价的四种表达式
不妨，以直角三角形的锐角为例。
直角三角形ABC中，a=3,b=4,c=5,则
A=arc sin(3/5),  A=arc cos(4/5)
A=arc tan(3/4),  A=arc cot(4/3)

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