三角函数的基本关系式 | ||||||||||||
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诱导公式 | ||||||||||||
sin（－α）＝－sinα | cos（－α）＝cosα | tan（－α）＝－tanα | cot（－α）＝－cotα | |||||||||
sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα | sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα | sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα | sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) | |||||||||
两角和与差的三角函数公式 | 万能公式 | |||||||||||
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ | 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2) | |||||||||||
半角的正弦、余弦和正切公式 | 三角函数的降幂公式 | |||||||||||
二倍角的正弦、余弦和正切公式 | 三倍角的正弦、余弦和正切公式 | |||||||||||
sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan2α | sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3α tan3α＝—————— 1－3tan2α | |||||||||||
三角函数的和差化积公式 | 三角函数的积化和差公式 | |||||||||||
α＋β α－β sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－— 2 2 α＋β α－β sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－— 2 2 α＋β α－β cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－— 2 2 α＋β α－β cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2 | sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] | |||||||||||
化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式） | |||
函数变换
360k+α | sinα | cosα | tanα | cotα | secα | cscα |
90°-α | cosα | sinα | cotα | tanα | cscα | secα |
90°+α | cosα | -sinα | -cotα | -tanα | -cscα | secα |
180°-α | sinα | -cosα | -tanα | -cotα | -secα | cscα |
180°+α | -sinα | 反三角函数的所有公式-cosα | tanα | cotα | -secα | -cscα |
270°-α | -cosα | -sinα | cotα | tanα | -cscα | -secα |
270°+α | -cosα | sinα | -cotα | -tanα | cscα | -secα |
360°-α | -sinα | cosα | -tanα | -cotα | secα | -cscα |
﹣α | -sinα | cosα | -tanα | -cotα | secα | -cscα |
反三角函数
三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).
反三角函数主要是三个：
y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红线条；
y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰线条；
y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿线条；
sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】
证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).
（1）正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
（2）余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0,π]区间内。
（3）正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
反三角函数主要是三个：
y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红线条；
y=arccos(x)，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用蓝线条；
y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿线条；
sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得
cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x
tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx
反三角函数其他公式
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π－arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π－arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x
当x∈[0,π],arccos(cosx)=x
x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x
x∈(0，π),arccot(cotx)=x
x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)
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