《两角差的余弦公式》教学设计
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课型：新授课
一、学情分析
（1）授课对象：高一年级的学生
（2）学情分析：学生的数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展阶段，有主动探索新知识的意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本课前，学生已学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。
二、教学内容分析
这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重要考点，历年高考必考内容。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐
标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。
三、教学模式、教学支持条件
教学模式：诱导—学习---讨论---练习---评价
教学支持条件：由于本节内容在公式的证明过程中要用到图形，而多媒体能直观、快捷地展示图形和内空的生成，故在讲授的过程中借助多媒体手段是一个不错的选择。
四、教学目标
1、知识目标
通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。
2、能力目标
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力
3、情感目标
使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
五、教学重点、难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式。
难点：探索过程的组织和适当引导。
六、教学基本流程
   
引入问题，提出探究
明确途径，组织和引导学生自主探索
例题、练习讲解，深化公式的理解与运用
小 结
作 业
七、教学过程
（一）目标展示（略）
（二）自主合作，探究解疑
(1)创设情境，引入新课----往日情景涌心头
请同学们思考问题：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图所示，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为60米，从A观测电视发射塔的视角∠CAD约为45°, ∠CAB=15°。求AD长度。
解：AD = 120 cos15°= 120cos（60°－45°）
问题一：不借助计算器如何求cos15°的值？我们可以有什么思路呢？
（提示：请已经学过的特殊角的三角函数值，可以将15°写成什么？）
生： cos（45°－30°）或者cos（60°－45°）等于两角差的余弦形式。
师：那么是否可以根据45°和60°的三角函数值来求出15°的余弦？这就是我们这节课要研究
的问题。更一般的来说，我们这节课要研究的就是：能不能用 、 的三角函数值把 － 的余弦值表示出来。
(2)数形结合，探求新知：
问题二：怎么求出与、、、之间的具体关系呢？我们知道在我们数学中，数形结合思想有时可以帮助解决问题，那么这个三角函数问题能不能用“形”来解决呢？三角函数的形又是什么呢？
生：是三角函数线。
师：下面我们就用三角函数线来研究cos与sin、cos、sin、cos之间的关系。因为角的终边所处的象限不同，画出的几何图形会有很大差别，所以我们先研究最简单的情况，也就是、、都为锐角时的情况。
展示课件：作单位圆O，设角的终边与单位圆交与点A, 作∠AOP=,
则∠xOP=。
①过点P做PM垂直于x轴，垂足为M，则OM=cos。
②过点P做PD垂直于OA，垂足为D，则DP=sin，OD=cos；过点D做DB垂直于x轴，垂足为B，则OB=ODcos= coscos。
③过点P做PC垂直于DB, 垂足为C,则∠PDC=，CP= sinsin。
④于是：OM=OB+BM=OB+CP= coscos+sinsin。
即：cos= coscos+sinsin。
师：借助三角函数线的知识，我们解决了上课开头的实际问题，AD =
师：那么是否对任意角 、 都有cos= coscos+sinsin成立呢？请同学们分组讨论。
学生活动：汇总学生的讨论结果如下：
有些组认为该公式仍然成立，因为他们借助计算器做了好多组非锐角试验，公式都成立；
另外有些组认为不一定成立，理由是即使试验了上万组数据都能使公式成立，仍无法得出公式一定成立，因为数学是很严谨的。
师：大家说的都很好。我们现在的目标就集中在该公式在任意情况下的证明。如果继续沿用刚才的三角函数线来证明，因为三角函数线所处象限不同，带来的几何关系就会不同，那么我们需要分类讨论的情况将会非常多，那么有没有其他更好的证明方法呢？
(4)借助向量，完善新知：
问题三：我们再来认真观察这个公式的右侧，把、反三角函数的所有公式拿出来作为一个有序数对（，），你想到了什么？
（提示：有序数对与什么是对应的）
生：（，）是平面直角坐标系中，角 终边与单位圆交点的坐标。而且（，）是角 终边与单位圆交点的坐标。所以是一个数量积的形式。
师：联系的非常好！那么具体的如何用向量知识来证明呢？这个过程交给大家来完成。
（提示：由向量数量积的坐标表示和数量积的定义，分别等于什么？）
学生活动：在直角坐标系中，以轴为始边分别作角，其终边分别与单位圆交于,，则,，，
由数量级的坐标表示,  =，
由数量积的定义，    =||||=
所以                  =，
师：我们的推导过程在细节上有没有问题？
（提示：如果学生看不出来，我可以提示向量夹角的范围是什么？）

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