6.4反三角函数（反正弦函数）（1）教案
教学目的：
1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx， x∈[-，]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，].
2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像.
3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1].
4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角.
5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.
教学重点：
教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.
教学难点：反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题.
教学过程：
（一）、引入
一、（设置情境）
1．复习
    我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。
2．思考
      那么正弦函数是否存在反函数呢？
[说明] 因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的。
故而不存在反函数。
3．讨论
      正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？
这个区间的选择依据两个原则：
（1）在所取区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值
可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。
二、（双基回顾）
1.根据下列给出的条件，求对应的角
1)， 则=______          2)，则=______
2．下列函数图像中哪些图像所表示的函数具有反函数？                （    ）
       
      (A)              (B)                (C)                (D)
（二）、新课
一、（新课教学，注意情境设置）
函数y=sinx， x∈[-，]存在反函数吗？
二、概念或定理或公式教学（推导）
概念辨析
（1）反正弦函数的定义：
    函数y=sinx， x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1].
（2）反正弦函数的性质：
    ①图像   
    ②定义域[-1，1]
    ③值域[-，]
    ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
    ⑤单调性：增函数
[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=sinx，x∈[-，]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称.
三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）
判断下列各式是否成立?简述理由.
（1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，k∈Z；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=.
解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-，]；
（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.
四、典型例题（3个，基础的或中等难度）
例1．求下列反正弦函数的值：
（1）arcsin；  （2）arcsin0；  （3）arcsin（-）
解：（1）因为sin=，且∈[-，]，所以arcsin=.
    （2）因为sin0=0，且0∈[-，]，所以arcsin0=0.
    （3）因为sin（-）=-，且-∈[-，]，所以arcsin（-）=-.
例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：
（1）sinx=，x∈[-，]；（2）sinx=-，x∈[-，]；（3）sinx=- ，x∈[-π，0]
解：（1）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin；
    （2）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；
    （3）在区间[-，0] 上，由定义，可知x=arcsin（-）=-    arcsin；
在区间[-π，-]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin，满足 sinx=-
因此x= arcsin或x=-π+arcsin.
例3．化简下列各式：
（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sin20070）
解：（1）因为∈[-，]，设sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）=.
（2）因为 [-，]，而∈[-，]，且sin=sin，设sin=sin=反三角函数的所有公式α，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）=arcsinα=.
（3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270
所以arcsin（sin20070）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.
例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.
解：设y=2arcsin2x，则= arcsin2x，
因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，
根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）= sin，
定义域是[-л，л]，值域是[-，].
五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）
1、求下列反三角函数的值：
（1）_________ ;  （2） ______;
（1） ;              （2） ;
六、拓展探究（2个）
例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
证明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1]
∴sin[arcsin（-x）]= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x
又因为arcsin（-x）∈[-，]，-arcsinx∈[-，]，且正弦函数在[-，]上单调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.
例2．设x∈[，]，sinx=，用反正弦函数值表示x.
解：因为x∈[，]，所以（π-x）∈[-，]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=，
于是π-x=arcsin，x=π- arcsin.
[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-，]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.
以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.
（三）、小结
（1）反正弦函数的定义；
（2）反正弦函数的性质.
（四）、作业
（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4
  （2）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.
课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）
一、填空题
1、求下列反三角函数的值：
（1)_______ ;      （2) _____.
(3) =___________;  (4) =______________.
2、函数的单调递减区间是          ．
3、若 有解，则a的取值范围是____________.   

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