数学高一下已知三角函数值求角教学设计示例1
一．教学目标
1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用反三角符号表示角．
2．掌握用反三角表示中的角．
二．教具
直尺、投影仪
三．教学过程
1．设置情境
由函数的定义知，对定义域中的任一元素，在值域中都有一个元素使
，我们知道，存在反函数时，上述值域中的元素不仅存在，而且惟一，这时可以用表示，记作。
到目前为止，我们已经学习了正弦、余弦、正切三种重要的三角函数．试问，三角函数是否具有反函数属性，即能否用三角函数值反映角的大小呢？如果能，又怎样表示呢？本节课就来讨论这个问题，
2．探索研究
请同学回忆一下
（1），，，的诱导公式．
（2）师：，，分别表示
与的正弦值相等，与的余弦值相等，与的正切值相等，能否说它们表示的角也相等？为什么？
生：不能，因为在0～间对一个已知的三角函数值一般都有两个角度与它对应．
师：对，同学们知道，利用诱导公式，我们可以求得任意角三角函数值，反过来，如果已知一个角的
三角函数值，我们利用诱导公式也将能求出中与之对应的角．这两个过程是互逆的，已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范围内可以是一个、二个，也可以是无数多个不同的解．
（板书课题——已知三角函数值求角（一））
请同学们看一个例题：
【例1】（1）已知，且，求．
（2）已知，且，求的取值集合．
师生共同分析：
（1）由正弦函数在闭区间上是增函数和．可知符合条件的角有且只有一
个，即，于是．
（2）因为，所以是第一或第二象限角，由正弦函数的单调性和
可知，符合条件的角有且只有两个，即第一象限角或第二象限角
，∴所求的的集合是．
反三角函数的所有公式下面给出反正弦概念，请看投影：
观察上图，根据正弦函数的图像的性质，为了使符合条件的角有且只有
一个，我们选择闭区间作为基本范围，在这个闭区间上，符合条件的角，叫做实数的反正弦，记作，即，其中，且
．
表示的意义：表示一个角，角的特点是①角的正弦值为x，因此角的大小受x
的限制；②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角；③由于x为角的正弦值，所以x的值在[-1，1]范围内．
例如，，．那么例1中第（2）小题答案可以写成
．
练习（投影）
（1）是什么意思？
（2）若，，则．
（3）若，，．
参考答案：
（1）表示上正弦值等于的那个角，其实应是，故记作
（2）这个应该是，因此
（3），它不是特殊角，故只能这样抽象表示了．
下面再来建立反余弦概念．
先看下面例题：
【例2】（1）已知，且，求；
（2）已知，且，求的取值集合．
师生共同分析：
解：（1）由余弦函数在闭区间上是减函数和，可知符合条件的角有且只有一个，这个角为钝角，利用计算器并由，可得，所以．
（2）因为，所以是第二或第三象限角，由余弦函数的单调性
和．
可知符合条件的角有且只有两个，即第二象限角或第三象限角，于是所求的的集合是．
下面我们来给出反余弦定义，先看投影
观察上图，根据余弦函数图像的性质，为了使符合条件的角有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件的
角，叫做实数的反余弦，作，即，其中，且．由学生根据反正弦的意义说明反余弦的意义：
表示的意义：表示一个角，角的特点是①角的余弦值为x，因此角的大小受x
的限制；②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角；
③由于x为角的余弦值，所以x的值在[-1，1]范围内．
例如
那么，例2的第（2）题的答案可以写成．
练习（投影）
（1），，求；
（2）已知，，求；
（3）已知，，求．
参考答案：
（1），当时，；当时，
，∴或．
（2）∵，∴或
（3），或．
最后，我们来尝试用反三角表示角，请看投影．
【例3】（1）已知，且，求（用弧度表示）；
（2）已知，且，求的取值集合．
解：（1）利用计算器并由
可得，所以（或）也可写成
（2）由正弦函数的单调性和
可知角，角的正弦值也是，所以所求的的集合是
或
注：本例第（2）小题的结果实际上就是
3．演练反馈（投影）：
（1）若，，则的值为（）
A．B．C．D．
（2）若，集合，且，则的值为___________．
（3）．

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