直⽅图均衡化、规定化、局部直⽅图均衡化、直⽅图统计
⼀、直⽅图均衡
如图3.16所⽰，是4个基本灰度级为特征的花粉图像：暗图像、亮图像、低对⽐度图像和⾼对⽐度图像，右侧显⽰了与这些图像对应的直⽅图。
由四张图的对⽐我们可知，如⼀幅图像的像素倾向于占据整个可能的灰度级并分布均匀，则该图像会有⾼对⽐度的外观并展⽰灰⾊调的变换，最终效果将会是⼀幅灰度细节丰富且动态范围较⼤的图像。图像均衡化即是实现这种效果。2 直⽅图均衡化推导过程
1.1 连续灰度值的直⽅图均衡化推导过程
连续灰度值的情况下，⼀幅图像的灰度级可以看成【0,L-1】内的随机变量。随机变量的基本描绘⼦是其概率密度函数（PDF）。r表⽰输⼊图像的灰度值，s表⽰均衡化之后的图像的灰度值，pr(r)和ps(s)表⽰随机变量r和s的PDF，因为r为输⼊图像的像素，所有pr(r)可以求得，则变换之后的s的PDF：
令
由上式可以看出s的PDF始终是均匀的。
1.2 离散灰度值的直⽅图均衡化推导过程
对于离散值的灰度值，我们处理其概率与求和来代替PDF和积分。⼀幅图像中rk出现的概率近似为：
M表⽰⾏ N表⽰列 MN表⽰图像中像素的总数，nk表⽰灰度为rk的个数
1.3 直⽅图均衡使⽤举例
其他与s0，s1求法相同，把他们近似为最接近的整数。
这些是均衡化之后的直⽅图的值，r0映射为1，r1映射为3，r2映射为5，r3映射为6，r4映射为6，r5，r6,r7映射为7，根据r中对应的像素个数，
1对应的像素个数为790，概率为0.19，
3对应的像素个数为1023，对应的概率为0.25,
5对应的像素个数为850，对应的概率为0.21，
6对应的像素个数为985，对应的概率为0.24，
7对应的像素个数为448，对应的概率为0.11
下⾯第⼀张是原始的图像的直⽅图，第⼆张是均衡化之后的直⽅图
1.4 C++实现
1. 求输⼊图像中每⼀个灰度级别的元素个数
2. 根据每⼀个灰度级别的个数求该灰度级别所占的概率
3. 根据下式求新的灰度级别
可以简化为（L-1）与前k个概率之和的乘积
4.到r和s的对应关系
5.根据对应关系为图像赋新的灰度值
#include <iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
int main() {
cv::Mat src=cv::imread("../1.jpg",0);
int gray[256]={0};//记录灰度级别下的像素个数
int ws;//像素总数
double r_prob[256]={0};//输⼊图像的概率
double pdf[256]={0};//累积概率密度
double r[256]={0};//r与s的映射
double s_prob[256]={0};//均衡化之后的概率
//统计每个灰度级别下的像素个数
cv::Mat dst=src.clone();
for(int row=0;row&ws;row++){
for(int col=0;col&ls;col++){
int g=src.at<uchar>(row,col);
gray[g]++;
}
}
//计算每⼀个像素级别的概率
for(int i=0;i<256;i++){
r_prob[i]=((double)gray[i])/mn;
}
pdf[0]=r_prob[0];
for(int i=1;i<256;i++){
pdf[i]=pdf[i-1]+r_prob[i];
}
//每个输⼊的灰度级别对应的输出的灰度级别
for(int i=0;i<256;i++)
{
int c=cvRound(255*(pdf[i]));
r[i]=c;
}
for(int row=0;row&ws;row++){
for(int col=0;col&ls;col++){
int g=src.at<uchar>(row,col);
dst.at<uchar>(row,col)=r[g];//重新赋值新的灰度级别
}
}
cv::imshow("src",src);
cv::imshow("dst",dst);
int bins=256;
int hist_size[]={bins};
float range[]={0,256};
const float* ranges[]={range};
cv::Mat histsrc,histdst;
int channels[]={0};
cv::calcHist(&src,1,channels,cv::Mat(),histsrc,1,hist_size,ranges,true,false);    cv::calcHist(&dst,1,channels,cv::Mat(),histdst,1,hist_size,ranges);
std::cout<<histsrc.size()<<std::endl;
int scale=1;
cv::Mat srcImage(256*scale,256,CV_8U,cv::Scalar(0));
cv::Mat dstImage(256*scale,256,CV_8U,cv::Scalar(0));
double maxValue=0;
double minValue=0;
cv::minMaxLoc(histsrc,&minValue,&maxValue,0,0);
cv::minMaxLoc(histsrc,&minValue,&maxValue,0,0);
int hpt=cv::saturate_cast<int>(0.9*256);
for(int i=0;i<256;i++){
float binValue=histsrc.at<float>(i);
int realValue=cv::saturate_cast<int>(binValue*hpt/maxValue);
cv::rectangle(srcImage,cv::Point(i*scale,255),cv::Point((i+1)*scale-1,256-realValue),
cv::Scalar(255));
}
cv::minMaxLoc(histdst,&minValue,&maxValue,0,0);
rectangle函数opencvhpt=cv::saturate_cast<int>(0.9*256);
for(int i=0;i<256;i++){
float binValue=histdst.at<float>(i);
int realValue=cv::saturate_cast<int>(binValue*hpt/maxValue);
cv::rectangle(dstImage,cv::Point(i*scale,255),cv::Point((i+1)*scale-1,256-realValue),
cv::Scalar(255));
}
cv::imshow("srcImage",srcImage);
cv::imshow("dstImage",dstImage);
cv::waitKey(0);
return 0;
}
1.5 直⽅图均衡化处理结果
上图左侧为原始图像，右侧为均衡化之后的结果，可以看出均衡化之后的图像对⽐度有明显的增强
⼆、 直⽅图规定化
⽤于产⽣处理之后有特殊的直⽅图的⽅法称为直⽅图匹配或直⽅图规定化。
2.1 连续直⽅图规定化的推导
假设连续灰度r和z分别表⽰输⼊图像和输出图像的灰度级，r和z看成连续随机分量，pr(r),pz(z)是我们希望输出图像所具有的指定概率密度函数。
令s：
随机变量z：
G(z)=T(r)，因此
步骤：
1. 由输⼊的图像得到pr(r)，并可以由下式得到s的值
1. 使⽤下式中指定的PDF求得变换函数G(z)
1. 求得反变换函数z=G-1(s)，因为z是由s得到的，所以该处理是s到z的映射，z是我们期望得到的值
2.2 连续灰度值直⽅图规定化的⼀个简单例⼦
由上⾯的例⼦我们可以得到结论，在连续灰度值时，pr(r)已知，如果我们想得到⼀个概率分布函数是pz(z)的图像，只需
即可得到r与z之间的映射关系
2.3 离散直⽅图均衡化的推导过程
得到q与k的对应关系
步骤：

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