特殊的指数方程有各种特殊的解法.本文介绍三种构造法，供初三和高中师生教与学时参考.
1构造一元二次方程解指数方程
例1解方程æ
èç
ö
ø÷
2+3
x
+æ
èç
ö
ø÷
2-3
x
=4①.
解：∵æ
èç
ö
ø÷
2+3
x
∙æ
èç
ö
ø÷
2-3
x
=()4-3x
=1②，∴根据韦达逆定理，由①、②知：
æèç
ö
ø÷
2+3
x
和æ
èç
ö
ø÷
2-3
x
是方程t2-4t+1=0
的两个根，∴t1=2+3，t2=2-3.
∴æèç
ö
ø÷
2+3
x
=2+3或æ
èç
ö
ø÷
2+3
x
=2-3，
∴()
2+3x2=()
2+31或()
2+3x2=()
2+3-1,∴x=2或x=-2.经检验x=2，x=-2都是原方程的解.
例2解方程6x+4x=9x.
解：∵6x≠0,∴方程两边同除以6x得
1+æ
è
ö
ø
2
3
x
=æ
è
ö
ø
3
2
x
，即æ
è
ö
ø
3
2
x
-æ
è
ö
ø
2
3
x
=1①，
又æ
è
ö
ø
3
2
x
∙é
ë
ê
ù
û
ú
-æ
è
ö
ø
2
3
x
=-1②，∴根据韦达逆定理，
由①、②知æ
è
ö
ø
3
2
x
,-æ
è
ö
ø
2
3
x
是方程t2-
t-1=0的
两个根，解得t1,2
，从而æ
è
ö
ø
3
2
x
或-æ
è
ö
ø
3
2
x
=
，解之得x=log3
2
，
经检验x是原方程的解.
例3解方程(a-x)
2
3-6(a2-x2)13
+4(a+x)23=0，这里a≠0.
分析：考虑到
2
3是
1
3的2倍，故可将根
式方程变形转化为一元二次方程，然后应用
求根公式求解.
解：显然x=-a不是原方程的根，故x+
a≠0，用(a+x)
2
3除方程的各项得æ
è
ö
ø
a-x
a+x
2
3-
6æ
è
ö
ø
a-x
a+x
1
3+4=0，由求根公式得
æ
è
ö
ø
a-x
a+x
1
3=3+5，当æ
è
ö
ø
a-x
a+x
1
3=3+5时，应用构造法解指数方程
江苏省泰州市海陵区森南新村15栋103室于志洪225300摘要：指数方程是中学数学的重点和难点，本文给出了三种应用构造法解指数方程的途径，
新颖实用.
关键词：构造法；指数方程
·
·15
x1=1-()
3+53
1+()
3+53
a，当æ
è
ö
ø
a-x
a+x
1
3=3-5时，
x2=1-()
3-53
1+()
3-53
a，方程两边同时立方，不破
坏同解性.所以经检验知x1=1-()
3+53
1+()
3+53
a，
x2=1-()
3-53
1+()
3-53
a都是原方程的解.
2构造指数函数解指数方程
例4解方程：3x+4x+5x=6x.
解：方程两边同时除以6x，整理得æ
è
öø3
6
x
+
æè
ö
ø
4
6
x
+æ
è
ö
ø
5
6
x
-1=0.构造指数函数f(x)=æ
è
ö
ø
3
6
x
+æè
ö
ø
4
6
x
+æ
è
ö
ø
5
6
x
-1，显然f(3)=æ
è
ö
ø
3
6
3
+æ
è
ö
ø
4
6
3
+
æè
ö
ø
5
6
3
-1=0，则x=3是方程的一个解.因为
æè
ö
ø
3
6
x
,
æ
è
ö
ø
4
6
x
,æ
è
ö
ø
5
6
x
均为R上的减函数，所以
f(x)是定义域R上的减函数，因此原方程有且只有唯一解x=3.
例5求方程5x+12x=13x的所有解.
解：观察易知x=2是原方程的一个解.
原方程两边同除从13x得，æ
è
ö
ø
5
13
x
+æ
è
ö
ø
12
13
x
=1.
构造指数函数f(x)=æ
è
ö
ø
5
13
x
+æ
è
ö
ø
12
13
x.由指数
函数的单调性可知，f(x)在其定义域R上也为严格单调递减函数.因此原方程仅一解x=2.
例6解方程9x+6x=2·4x.
解：方程两边同除以4x得æ
è
ö
ø
9
4
x
+æ
è
ö
ø
6
4
x-2
=0.由观察发现f()0=æ
è
ö
ø
9
4
+æ
è
ö
ø
6
4
-2=1+1
-2=0，∴x=0是方程的一个解，而
æ
è
ö
ø
9
4
x
,æ
è
ö
ø
6
4
x
均为R上的增函数，故f(x)是定
义域R上的增函数，因此方程有且仅有一解
x=0.
3构造均值换元解指数方程
例7解方程：æ
èç
ö
ø÷
3+22
x
sec cot csc 表示什么+æ
èç
ö
ø÷
3-22
x
=22.
分析：此方程右边为常数22，左边两
括号内的二重根式互为倒数.根据这一特
征，运用均值换元可简化解题过程，达到变
难为易、化繁为简之目的.
解：因为3+22=()
2+12，3-22=
()
2-12，所以原方程可变形为()
2+12x+
()
2-12x=22.应用均值换元，设()2+12x
=2+t，()2-12x=2-t.而()2+12x与
()
2-12x互为倒数，因此可知()
2+t()2-t
=1，故2-t2=1，t2=1，t=±1.即()2+12x=
2±1,∴x
1
=12，x
2
=-12，经检验x
1
,x
2
都是
原方程的根.
综上可知：注意应用构造法解指数方
程，不仅思路简捷、解法新颖、内容丰富，而
且通过专题研究，有利于帮助学生理解课本
内容，融会贯通所学过的知识，有利于提高
学生分析问题和解决问题的能力，符合新课
程标准关于“培养学生的探索精神和创新意
识”的理念，因而对提高学生的发散思维和
应用意识，对于巩固课本知识，掌握“双基”，
(下转第19页)
·
·16
=3+(Σcot A 2)2-2Σcot B 2cot C 2+2Σcsc B 2csc C
2
=3+(Σcot A 2)2-2(Πcsc A 2+1)+2Σcsc B 2csc C
2
=1+(Σcot A 2)2-2Πcsc A 2+2Σcsc B 2csc C 2
⑮,
⑮式代入⑭式，化为1-2Πcsc A 2+2Σcsc B
2
⋅csc C 2
6(2-3)Πcot A 2+9(7-43)⇔
B 2csc
C 2 Πcsc A 2+3(2-3)Πcot A 2-(183-31)，两边同时乘以Πsin A 2，得Σsin A
2
1+3(2-3)Πcos A 2-(183-31)Πsin A 2
.最
后，将三角形恒等式Πcos A 2=s 4R 与Πsin A
2
=r 4R
代入上式，推论3得证.参考文献
［1］李建潮.一个优美的几何不等式［J ］.数学通报，2015（02）：56-57.
［2］李建潮，钱旭锋.三角形中线与内角平分线的
两个新不等式的注记［J ］.数学通讯（下），2018（06）：60-62.
［3］杨学枝.不等式研究（第一辑）［C ］.西藏：西藏
人民出版社，2010（06）:13，134.均颇有益处.
练习题：
1.解方程æ
èçöø÷5+26x
+æèçöø
÷5-26x
=10.(x 1=2,x 2=-2).
2.解方程6x +8x +10x =12x .（提示：参照
例4，构造指数函数f (x )=æèöø612x
+æèöø
812x
+
æèöø
1012x
-1，答案为方程仅有一解x =3.）参考文献
［1］于志洪.构造方程解指数方程［J ］.现代中学生
（高1993（10）.
［2］于志洪.构造一元二次方程解题［J ］.初中生学
习指导，2021（09）.
［3］于志洪.构造一次函数证明不等式［J ］.中学生
理科应试，2010（08）.
［4］于志洪.构造二次函数解全国初中联赛题［J ］.
理科考试研究》，2009（09）.
［5］于志洪.构造三次函数解最值问题［J ］.数学教
学，2015（12）.
［6］于志洪.巧用均值换元法妙解因式分解题［J ］.
数学学习，2002（04）.
［7］徐爱芳.应用均值换元法解高考最值问题［J ］.
中学数学研究，2017（06）.
(上接第16页)
·
·
19

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