三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号：
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
三角函数的图像和性质：
函数 | y=sinx | y=cosx | y=tanx | y=cotx |
定义域 | R | R | ｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z｝ | ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝ |
值域 | ［-1，1］x=2kπ+ 时ymax=1 x=2kπ- 时ymin=-1 | ［-1,1］ x=2kπ时ymax=1 x=2kπ+π时ymin=-1 | R 无最大值 无最小值 | R 无最大值 无最小值 |
周期性 | 周期为2π | 周期为2π | 周期为π | 周期为π |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 奇函数 |
单调性 | 在［2kπ-,2kπ+ ］上都是增函数；在［2kπ+ ,2kπ+π］上都是减函数(k∈Z) | 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z) | 在(kπ-，kπ+)内都是增函数(k∈Z) | 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z) |
| 所有反三角函数图像 |
.反三角函数：
arcsinx arccosx
arctanx arccotx
名称 | 反正弦函数 | 反余弦函数 | 反正切函数 | 反余切函数 | |
定义 | y=sinx(x∈〔-, 〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny | y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy | y=tanx(x∈(-,)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctany | y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty | |
理解 | arcsinx表示属于［-,］ 且正弦值等于x的角 | arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角 | arctanx表示属于(-,)，且正切值等于x的角 | arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角 | |
性质 | 定义域 | ［-1，1］ | ［-1，1］ | (-∞，+∞) | (-∞，+∞) |
值域 | ［-，］ | ［0，π］ | (-，) | (0，π) | |
单调性 | 在〔-1，1〕上是增函数 | 在［-1，1］上是减函数 | 在(-∞，+∞)上是增数 | 在(-∞，+∞)上是减函数 | |
奇偶性 | arcsin(-x)=-arcsinx | arccos(-x)=π-arccosx | arctan(-x)=-arctanx | arccot(-x)=π-arccotx | |
周期性 | 都不是同期函数 | ||||
恒等式 | sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-,］) | cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］) | tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x（x∈(-,)） | cot(arccotx)=x(x∈R) arccot(cotx)=x(x∈(0,π)) | |
互余恒等式 | arcsinx+arccosx= (x∈［-1,1］) | arctanx+arccotx= (X∈R) | |||
补充几个公式
积化和差公式
sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b))
cosasinb=(1/2)(sin(a+b)-sin(a-b))
cosacosb=(1/2)(cos(a+b)+cos(a-b))
sinasinb=-(1/2)(cos(a+b)-cos(a-b))
三倍角公式
sin3a=3sina-4(sina)^3
cos3a=4(cosa)^3-3cosa
tg3a=[3tga-(tga)^3]/[1-3(tga)^3]
1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π/2-a)=cos(a)
cos(π/2-a)=sin(a)
sin(π/2+a)=cos(a)
cos(π/2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)/1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)/1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
4.二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(b)
cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
5.半角公式
sin2(a2)=1-cos(a)2
cos2(a2)=1+cos(a)2
tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
6.万能公式
sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)
cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)
tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)
7.其它公式(推导出来的 )
a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba
a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab
1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2
1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2
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