反三角函数的概念和性质
一．根本知识：
1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值围；
3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；
4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；
6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；
7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。
例一．以下各式中成立的是〔C〕。
〔A〕arcctg(－1)＝－〔B〕arccos(－)＝－
C〕sin[arcsin(－)]＝－〔D〕arctg(tgπ)＝π
解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],
(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
例二．以下函数中，存在反函数的是〔D〕。
〔A〕y＝sin x, x∈[－π, 0]〔B〕y＝sin x, x∈[, ]
〔C〕y＝sin x, x∈[,] 〔D〕y＝sin x, x∈[,]
解：此题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。
例三．arcsin(sin10)等于〔C〕。
〔A〕2π－10 〔B〕10－2π 〔C〕3π－10 〔D〕10－3π
解：此题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。〔
例四．求出以下函数的反函数，并求其定义域和值域。
〔1〕f (x)＝2sin2x, x∈[, ];〔2〕f (x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),
∴ x＝－arcsin, ∴ f－1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].
(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],
∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝sin y,
∴f－1(x)＝sin x , x∈[,], y∈[－, ].
例五．求以下函数的定义域和值域：
(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),
解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).
(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,
由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.
(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ). 例六．求以下函数的值域：
(1) y＝arccos(sin x), x∈(－, ); (2) y＝arcsin x＋arctg x.
解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sin x∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).
(2) ∵y＝arcsin x＋arctg x., x∈[－1, 1], 且arcsin x与arctg x都是增函数,
∴ －≤arcsin x≤, －≤arctg x≤, ∴ y∈[－,].
例七．判断以下函数的奇偶性：
(1) f (x)＝x arcsin(sin x); (2) f (x)＝－arcctg x.
解：(1) f (x)的定义域是R，f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝x arcsin(sin x)＝f (x), ∴ f (x)是偶函数;
(2) f (x)的定义域是R,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcct
g x)＝arcctg x－＝－f (－x),
∴ f (x)是奇函数.
例八．作函数y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π]的图象.
解：y＝arcsin(sin x), x∈[－π, π], 得, 图象略。
例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,
设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝<sinα, ∴ β<α,
∴ arctg< arcsin< arccos(－).例十．解不等式：(1) arcsin x<arccos x; (2) 3arcsin x－arccos x>.
解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsin x＝arccos x, 又arcsin x是增函数,arccos x是减函数，∴ 当x∈[－1, )时, arcsin x<arccos x.
所有反三角函数图像(2) ∵ arccos x＝－arcsin x, ∴ 原式化简得4arcsin x>, ∴ arcsin x>＝arcsin,
∵ ar csin x是增函数, ∴ <x≤1.
二．根底知识自测题：
1．函数y＝arcsin x的定义域是[－1, 1] ，值域是.
2．函数y＝arccos x的定义域是[－1, 1] ，值域是[0, π] .
3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是.
4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是(0, π) .
5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．假设cos x＝－, x∈(, π)，那么x＝.
8．假设sin x＝－, x∈(－, 0)，那么x＝.
9．假设3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，那么x＝.
三．根本技能训练题：
1．以下关系式总成立的是〔B〕。
〔A〕π－arccos x>0 〔B〕π－arcctg x>0 〔C〕arcsin x－≥0 〔D〕arctg x－>0 2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是〔D〕。
〔A〕y＝arcsin x〔B〕y＝arccos x〔C〕y＝arctg x〔D〕y＝arcctg x
3．不等式arcsin x>－的解集是. 4．不等式arccos x>的解集是.

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