精锐教育学科教师辅导讲义
年    级：高一                  辅导科目： 数学                    课时数：3
课    题
反三角函数
教学目的
1、熟练掌握反三角函数的定义、图像及基本性质；
2、会求特殊的反三角函数值，会用反三角函数值表示角的大小；
3、会求一般形式的三角函数的反函数。
教学内容
【知识梳理】
反三角函数：
名称
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
定义
y=sinx 
x∈[-,] 的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny
y=cosx(x∈[0,π]的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy
y=tanx
x∈(-,))的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctany
y=cotx
x∈(0,π)的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于［-,］
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角
arctanx表示属于(-,)，且正切值等于x的角
arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角
图像
性质
定义域
［-1，1］
［-1，1］
(-∞，+∞)
(-∞，+∞)
值域
［-，］
［0，π］
(-，)
(0，π)
单调性
在[-1，1]上是增函数
在［-1，1］上是减函数
在(-∞，+∞)上是增数
在(-∞，+∞)上是减函数
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx 奇函数
arccos(-x)=π-arccosx
非奇非偶函数
arctan(-x)=-arctanx
奇函数
arccot(-x)=π-arcotgx
非奇非偶函数
所有反三角函数图像周期性
都不是周期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x
(x∈［-1，1］)
arcsin(sinx)=x
(x∈［-,］)
cos(arccosx)=x
(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x
(x∈［0,π］)
tan(arctanx)
(x∈R)
arctan(tanx)=x
（x∈(-,)）
cot(arcotgx)=x
(x∈R)
arccot(cotx)=x(x∈(0,π))
互余恒等式
arcsinx+arccosx= (x∈［-1,1］)
arctanx+arccotx= (X∈R)
【典型例题分析】
例1、在下列式子中：有意义的是哪几个？并简述理由。
变式练习：哪些有意义？为什么？
哪些有意义、为什么？
例2、求值
例3、用反三角函数表示下列式子中的x.
注意用反三角函数表示角的步骤：先利用诱导公式把角转换到相应的反三角函数的定义域内，再用反三角函数表示。
变式练习：用反三角函数表示下列式子中的x.
（1）
（2）
例4、求下列函数的反函数。
例5、求下列函数的定义域和值域
例6、满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是(    )
A.［-1,-］          B.［-,0］
C.［0,］          D.［,1］
例7、 已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π,)
求α+β(用反三角函数表示).
例8、记函数y=的图像为l1，y=arctanx的图像为l2，那么l1和l2的交点个数是(    )
A.无穷多个      B.2个      C.1个      D.0个
【课堂总结】
注意本节内容在理解与应用中常见的错误是：
1、不清楚反三角函数存在的条件，导致解题错误；
2、不在规定定义域内运用反三角函数的性质。
【课后练习】
1、函数的定义域为                  ，值域为              。
2、               。
3、若，则              。
4、              。
5、设              。
6、下列各式中正确的是（    ）
A、
B、
C、
D、
7、若，则x的取值范围是（    ）
A、      B、    C、[0,1]    D、[-1,1]
8、在△ABC中，若（    ）
A、    B、    C、    D、或
9、的值等于（    ）
A、B、C、D、
10、若，则等于（    ）
A、4  B、-4    C、  D、
11、在区间上与函数y=x的图像相同的函数是：（  ）
A、
B、
C、
D、
12、求下列函数的定义域和值域。
（1）
（2）
（3）
13、求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
14、已知，其中用反函数表示x.
15、求函数的定义域、值域和单调递增区间。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。