反函数
在这一节中我们将要来讨论反函数的概念，并用反函数的概念和性质分别
来研究正弦函数、余弦函数和正切函数。
函数y = f( x )反映了一个变化过程中两个变量x 和y 间的对应关系，根据
问题的具体情况选择一个变量x作为自变量，另一个就是因变量。当自变量x
在定义域D内取定一个值后，因变量y 的值也随之唯一确定。
然而，自变量与因变量的选择并不是绝对的，往往是根据讨论的需要确定的。数学上，如果把一个函数中的自变量和因变量对换后能得到新的函数，就
把这个新函数称为原来函数的反函数。
看一个简单的例子：自变量1，2，3，4通过函数关系y=2x映射为函数值2，4，6，8，那么反过来，元素2，4，6，8就可以通过函数关系x=y/2，映射为1，2，3，4，此时x=y/2就是y=2x的反函数。
我们首先给出反函数的定义：为定义在D上的函数，其值域为A，如果对
数集A上的每一个数，数集D都有唯一确定的一个数x使f（x）等于y，即x
变量为y的函数，这个函数称为函数的反函数，记为x等于f-1（y），其定义域为A，值域为D.
在函数式x=  f -1（y）中，y表示自变量，x表示函数。但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此，我们常常对调x= f -1（y）中的字母x,y，
把它改写成y=f-1(x).
以下几点需要注意：
1、不是所有函数都有反函数，只有一一对应的函数才有反函数！
也就是说函数必须是单值函数，且是单调的才存在反函数。且反函数与原函数具有相同的单调性。
实际应用中，给定函数y = f( x )在其定义域D 内常常并不是单调的，因而并不能直接应用反函数存在定理确定其反函数的存在性。
对于这种情形，可考虑将函数定义域分割为若干个单调区间，再在各单调区间上逐段应用反函数存在定理以确定其反函数的存在性。
2、函数y =f (x )的定义域正好是它反函数y =f  -1(x )的值域；反之，函数y=f (x )的值域也是它反函数y=f  -1(x )的定义域。
3、原函数与反函数的图像关于y =x  这条直线对称。
下面我们来学习反三角函数
请大家观察y =sin x ，x 属于R 的图像，它有反函数么？的确，由于正弦函数不是一 一对应函数，同一个三角函数值会对应许多角。所以没有反函数，那么如果把定义域设为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
有反函数么？答案是有的。 所以我们给出反正弦函数的定义：正弦函数y =sin x  ，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
的反函数叫做反正弦函数，记作x =arcsin y . 习惯记作y =arcsin x  .定义域是[]1,1-，值域是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
。奇偶性为奇函数，单调性为单调递增函数。 需要注意的是，arcsin 是一个完整的符号，不可看做是arc 与sin 的乘积！ 为了实际应用的方便，我们熟记一些特殊的反正弦函数值：
11(1)arcsin1;  (2)arcsin(1);  (3)arcsin ;  (4)arcsin();      222626(5)arcsin
;(6)arcsin(;(8)arcsin(242433(9)arcsin 00 .
ππππππππ=
-=-=-=-=-=-==-= 请大家观察y =cos x ，x ∈的图像，它有反函数么？由于余弦函数不是一 一对应函数，所以没有反函数，那么如果把定义域设为[]0,π有反函数么？答案是有的。
所以我们给出反余弦函数的定义：余弦函数y =cos x  ，[]0,x π∈的反函数叫做反余弦函数，记作x =arccos y . 习惯记作y =arccos x  .定义域是[]1,1-，值域是[]0,π。奇偶性为非奇非偶函数，单调性为单调递减函数。
为了实际应用的方便，我们熟记一些特殊的反正弦函数值：
112(1)arccos10;(2)arccos(1);(3)arccos
;
(4)arccos();        232335(5)arccos ;(6)arccos(;(8)arccos(;242466
(9)arccos 0.
2ππππππππ
=-==-==-==== 同理我们定义反正切函数与反余切函数。
正切函数y =tan x  ，x 取开区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
的反函数叫做反正切函数，记作x =arctany. 习惯记作y =arctan x  .定义域是R ，值域是开区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
。奇偶性为奇函数，单调性为单调递增函数。
余切函数y =cot x  ，x 取开区间[]0,π的反函数叫做反余正切函数，记作所有反三角函数图像
x =arccoty. 习惯记作y =arccot x  .定义域是R ，值域是开区间[]0,π。奇偶性为非奇非偶函数，单调性为单调递减函数。
我们需要熟记一些特殊的反正切和反余切函数值：
(1)arctan1    (2)arctan(1)  (3)arctan    (4)arctan(4433  (6)arctan(  (7)arctan 0066
ππππππ=
-=-==-==-=
35(1)arccot1      (2)arccot(1)    (4)arccot( 4466
2(5)arccot  (6)arccot(  (7)arccot 033332π
ππππππ=-=
===-==
下面对本节内容小结一下：本次课我们首先讨论了什么是反函数，只有一一对应的函数才有反函数，并且反函数的单调性与原函数一致。请大家尤其注意反函数的两个性质：第一，原函数与反函数的定义域与值域交换。第二，原函数与反函数的图像关于y =x  这条直线对称。接着我们用反函数的概念和性质分别讨论了四个重要的反三角函数y =arcsin x 、y =arccos x 和y =arctan x ，y =arccot x 。大家重点掌握这四个反三角函数的性质及特殊值。

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