学科 | 数学 | 班级 | 设计教师 | 课时 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
课题 | 三角函数及函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
知识储备： 一.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
一、三角函数奇偶性的判断技巧 1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． 二、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
三、由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移 小试牛刀： 1．函数y＝tan 3x的定义域为( ) A. B. C. D. 2．函数f(x)＝2cos是( ) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 3．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( ) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 4．比较大小：sin________sin. 5．(2013·天津高考)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( ) A．－1 B．－ C. D．0 6．将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动个单位，得到图象的函数解析式为( ) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D.y＝sin 7．(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图3－4－2所示，则ω，φ的值分别是( ) 图3－4－2 A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 自测后你觉得哪类题做起来困难呢？那我们一起来解决吧！ 典例： 题型一 三角函数的定义域和值域 (1)函数y＝的定义域为________． 导疑：由解析式求函数定义域应考虑________. 导学：由tanx-10得tanx1 所以x________． 所以所求定义域为________. (2)求下列函数的值域①y＝2cos2 x＋2cos x ②y＝3cos x－sin x，x∈[0，π]； 导疑：二次函数给定区间如何求值域？形如 y＝Asin(ωx＋φ)函数的值域？ 导学：①令cosx=t,则y=________,t ________ 所以________y________ 即值域为________ 。 ② y＝3cos x－sin x= ________.（辅助角公式） 因为x∈[0，π]，所以________y________ 即值域为________ 。 题型二 三角函数的单调性 求下列函数的单调增区间． (1) y＝sin；(2)y＝|tan x|. 导疑：1.式子中x的系数是负的，能否将它变成正的？如何做？ 2.变形后将( )看作y=sinx中的x,y=sinx的单调区间是什么？ 导学：（1）由 y＝sin=__sin(3x-). 令________ 3x-________ 得________ x________ 所求函数的单调增区间为________. （2）导疑：y=tanx的图像？y＝|tan x|的图像与之发生变化？. 导学：作出函数y＝|tan x|的图像（草图） 由图像可知所求单调区间为： 练习: 1.已知函数y＝sin， 求：(1)函数的单调增区间； (2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 2.求函数y=的单调区间。 题型三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 (1)已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列说法正确的是( ) A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数 C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数 (2)已知f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A. B. C．－ D．－ 对点练习1.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π； ②它的图象关于直线x＝成轴对称图形； ③它的图象关于点成中心对称图形； ④在区间上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)． 2. [2014·陕西卷] 函数f(x)＝cos的最小正周期是( ) A. B．π C．2π D．4π 题型四、 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 例4. (2012·浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( ) (2)(2013·课标全国卷Ⅱ)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________. 对点训练1 (2014·济南一中等四校联考)为了得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin的图象．( ) A．向左平移个单位 B．向左平移个单 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 2．[2014·四川卷] 为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点( ) A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 题型五 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例5 (如图3－4－3是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( ) A．A＝3，T＝，φ＝－ B．A＝1，T＝，φ＝ C．A＝1，T＝，φ＝－ D．A＝1，T＝，φ＝－ 图3－4－3 图3－4－4 对点练习 如图3－4－4是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则该函数的解析式为________． （C层）题型六 与向量结合 例6 (12分)(2012·山东高考)已知向量m＝(sin x,1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6. (1)求A； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域． 对点练习 (2013·安徽高考)设函数f(x)＝sin x＋sin. (1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合； (2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到． 课后作业： 1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 2．[2014·浙江卷] 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像( ) A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 3．[2014·福建卷] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( ) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 D．y＝f(x)的图像关于点对称 4．[2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( ) A. B. C. D. 5．[2014·辽宁卷] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( ) A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________． 7．[2014·山东卷] 函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________． 8．[2014·北京卷] 函数f(x)＝3sin的部分图像如图14所示． 图14 (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 9．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)． (1)求f的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 10．[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差． 反馈： 学生反思： 教师反馈： | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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