概率质量函数（ProbabilityMassFunction）和期望课程笔记
随机变量的数学定义
从样本空间到实数值的映射函数。
⼀个样本空间可以定义多个随机变量
⼀个或⼏个随机变量的函数构成⼀个新的随机变量
概率质量函数的定义
上⾯公式的含义为在随机变量X的映射函数下，所有样本空间中的结果在此映射下输出结果为x的概率。
属性如下：
1.
2.
Bernoulli和指⽰器随机变量
Bernoulli随机变量定义：
参数p的取值为：
它适合对结果只有成功或失败、正⾯或背⾯、等等来进⾏建模。
指⽰器随机变量定义：
事件A的指⽰器随机变量：
因此：
指⽰器随机变量是⾮常有⽤的，因为它把对事件的操作转换成了对随机变量的操作。有时，对随机变量计算⽐对事件更加容易。离散均匀随机变量
例⼦如下：
⼆项随机变量
例⼦如下：
⼆项随机变量的PMF图像如下：
⼏何随机变量
例⼦如下：
随机变量的期望值/平均值
定义：
上⾯的定义可以解释成⼤量独⽴实验的平均值。
注意：如果我们有⽆穷的求和项，那么我们需要将此式定义明确。所以，我们假设Bernoulli和指⽰器随机变量的期望值
E[X] = 1 * p + 0 * (1 - p) = p
指⽰器随机变量的期望值:
均匀随机变量的期望值
期望的基本属性
⽤于计算E[g(X)]的期望值规则设X为随机变量，令Y = g(X).
则
注意：通常情况下，
期望的线性
function怎么记忆E[aX + b] = aE[X] + b.
基于期望值规则的推导：
令g(x) = ax + b.
E[g(x)] = E[ax + b] =
在这个例⼦中，E[g(x)] = g(E[x])。当g(x)是线性函数时，这个等式成⽴。当其为⾮线性函数时，通常情况下是不成⽴的。

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