C1基本概念：映射（mapping），函数（function），算⼦
（operator）等等...
映射/函数/算⼦/…
C1 ⽬录：
1. 映射 mapping
映射就是将两个对象对应起来。对应的对象叫象; 被对应的对象叫原象。
映射是：集合 和 集合 之间的⼀种关系。
2. 函数 Function
函数是⼀种特殊的映射。是从 数集 到 数集 的映射。
3. 算⼦ Operator
英语的算⼦是Operator，含义为操作、运算等等。
算⼦可以理解为，把⼀个函数变成另⼀个函数的东西。
函数是从数到数的映射。
泛函是从函数到数的映射。
算⼦是从函数到函数的映射。
当然，有的时候这⼏个词可以混⽤，⽐如可以可以把数当作常函数，那么普通的函数也可以看作泛函
或算⼦；再⽐如考虑从算⼦到算⼦的映射，你仍然可以叫它算⼦。
4. 集合 set
定义：集合（或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。最简单的说法，即是在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“⼀堆东西”。集合⾥的“东西”，叫作元素。function怎么记忆
5. 数环 number ring
定义：设S是复数集的⾮空⼦集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积（没有商）仍属于S，则称S是⼀个数环。
例如整数集Z就是⼀个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。
性质：
1. 任何数环都包含数零（即零环是最⼩的数环）。
2. 设S是⼀个数环。若a∈S ，则na∈S(n∈Z)。
3. 若M,N都是数环，则M∩N也是数环。
6. 数域 number field
定义1：设F是⼀个数环，如果对任意的a,b∈F⽽且a≠0, 则b/a∈F；则称F是⼀个数域。
定义2：设S是复数集的⾮空⼦集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍属于S，则称S是⼀个数域。
例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。
性质：任何数域都包含有理数域Q。
7. 线性空间 Linear space
简单的说，线性空间是这样⼀种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另⼀元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另⼀元素。（个⼈理解就是可加性和齐次性）
定义：设V是⼀个⾮空集合，F是⼀个数域，在集合V的元素之间定义⼀种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了⼀个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯⼀的⼀个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了⼀种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任⼀数k与V中任⼀元素x，在V中都有唯⼀的⼀个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为
y=kx。如果加法与乘法还满⾜下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．
1. 对加法满⾜：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）(x+y)+z=x+(y+z)
（3）（零元素）在V中有⼀元素θ，对于V中任⼀元素x都有x+θ=x；
（4）（负元素）对于V中每⼀个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；
2. 数量乘法满⾜：
（5）（1乘律）1x=x；
（6）（结合律）k(lx)=(kl)x；
3. 数量乘法和加法满⾜：
（7）（分配律）(k+l)x=kx+lx；
（8）（数因⼦分配律）k(x+y)=kx+ky．
其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。
简单性质
（1）V中零元素（或称θ向量）是唯⼀的。
（2）V中任⼀向量x的负元素（或称负向量）是唯⼀的。
（3）kx=θ（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=θ。
（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。
例⼦
1. 域F上m×n矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。
2. 复数域C是实数域R上的线性空间。
3. 域F上次数⼩于n的多项式形式全体是F上的线性空间。
4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。
8. 线性变换 Linear transformation
变换的定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到⾃⾝的⼀个映射，使对于任意向量x∈V，V中都有唯⼀的向量y与之对应，则称T是V的⼀个变换或算⼦，记为：Tx=y。称y为x在T下的象，⽽x是y的原象。
线性变换：如果数域K上的线性空间V的⼀个变换T具有性质：T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)，其中x,y∈V，k,l∈K。则称T是V的⼀个线性变换或线性算⼦。（个⼈理解就是可加性和齐次性）
两个特殊的线性变换：
  1. 单位变换或恒等变换：Tex=x (x∈V)
  2. 零变换：T0x=θ(x∈V)
9. 泛涵 Functional
泛函是⼀种算⼦，它的定义域是函数，值域是实数。简略地说：泛函是⼀种函数，其输⼊经常为函数，输出经常为实数。
函数 —— 实数
是数学与其它领域研究与应⽤的⼀个重要⼯具。泛函分析是研究到拓扑线性空间之间满⾜各种和条件的的分⽀学科
设{y}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任⼀函数y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为П(y(x))，则П(y(x))是定义于集合{y(x)}上的⼀个泛函。
10. 总结：
映射：集合→集合（任⼀⾃变量，都有唯⼀的因变量与之对应，就是排除集值映射）
集合 + ⼀定结构 ＝ 空间
⽐如（X,+,▪）是线性空间，（X,Σ,μ）测度空间等。
算⼦：空间→空间，的映射
泛函：空间→数域，的映射
函数：数域→数域，的映射

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。