例3  (任务分配问题)某车间有甲、⼄两台机床，可⽤于加⼯三种⼯件。
假定这两台车床的可⽤台时数分别为800和900，三种⼯件的数量分别为400、
600和500，且已知⽤三种不同车床加⼯单位数量不同⼯件所需的台时数和加⼯
费⽤如下表。问怎样分配车床的加⼯任务，才能既满⾜加⼯⼯件的要求，⼜使
加⼯费⽤最低
解    设在甲车床上加⼯⼯件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在⼄车床上
加⼯⼯件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建⽴以下线性规划模型：
编写M⽂件xxgh3.m如下:
f = [13 9 10 11 12 8];
A =  [0.4 1.1 1 0 0 0
0 0 0 0.5 1.2 1.3];
b = [800; 900];
Aeq=[1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1];
beq=[400 600 500];
vlb = zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
例4．某⼚每⽇8⼩时的产量不低于1800件。为了进⾏质量控制，计划聘请两种不同⽔平的检验员。⼀级检验员的标准为：速度25件/⼩时，正确率98%，计时⼯资4元/⼩时；⼆级检验员的标准为：速度15⼩时/件，正确率95%，计时⼯资3元/⼩时。检验员每错检⼀次，⼯⼚要损失2元。为使总检验费⽤最省，该⼯⼚应聘⼀级、⼆级检验员各⼏名？
解    设需要⼀级和⼆级检验员的⼈数分别为x1、x2⼈,
编写M⽂件xxgh4.m如下：
c = [40;36];
A=[-5 -3];
b=[-45];
Aeq=[];
beq=[];
vlb = zeros(2,1);
vub=[9;15];
%调⽤linprog函数：
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
结果为：
x =
9.0000
0.0000
fval =360
即只需聘⽤9个⼀级检验员。
4．控制参数options的设置
Options中常⽤的⼏个参数的名称、含义、取值如下:
(1) Display: 显⽰⽔平.取值为’off’时，不显⽰输出; 取值为’iter’时，显⽰每次迭代的信息；取值为’final’时，显⽰最终结果.默认值为’final’.
(2) MaxFunEvals: 允许进⾏函数评价的最⼤次数，取值为正整数.
(3)  MaxIter: 允许进⾏迭代的最⼤次数，取值为正整数
控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命令的格式如下：
(1) options=optimset(‘optimfun’)
创建⼀个含有所有参数名，并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.
(2)options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...)
创建⼀个名称为options的优化选项参数，其中指定的参数具有指定值，所有未指定的参数取默认值.
(3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’,
value2,...)
创建名称为oldops的参数的拷贝,⽤指定的参数值修改oldops中相应的参数.
例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8)
该语句创建⼀个称为opts的优化选项结构，其中显⽰参数设为’iter’, TolFun参数设为1e-8.
⽤Matlab解⽆约束优化问题
⼀元函数⽆约束优化问题
常⽤格式如下：
(1)x= fminbnd (fun,x1,x2)
(2)x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
(3)[x，fval]= fminbnd(...)
(4)[x，fval，exitflag]= fminbnd(...)
(5)[x，fval，exitflag，output]= fminbnd(...)
其中(3)、(4)、(5)的等式右边可选⽤(1)或(2)的等式右边。
函数fminbnd的算法基于黄⾦分割法和⼆次插值法，它要求⽬标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。
例1 求 在0<x<8中的最⼩值与最⼤值
主程序为wliti1.m:
f='2*exp(-x).*sin(x)';
fplot(f,[0,8]);        %作图语句
[xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
f1='-2*exp(-x).*sin(x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
源代码大电影
运⾏结果：
xmin = 3.9270        ymin = -0.0279
xmax =  0.7854      ymax =  0.6448
例2  对边长为3⽶的正⽅形铁板，在四个⾓剪去相等的正⽅形以制成⽅形⽆盖⽔槽，问如何剪法使⽔槽的容积最⼤？先编写M⽂件fun0.m如下:
function f=fun0(x)
f=-(3-2*x).^2*x;
主程序为wliti2.m:
[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);
xmax=x
fmax=-fval
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正⽅形的边长为0.5⽶时⽔槽的容积最⼤，最⼤容积为2⽴⽅⽶.
2、多元函数⽆约束优化问题
标准型为：min F(X)
命令格式为:
(1)x= fminunc(fun,X0 )；或x=fminsearch(fun,X0 )
(2)x= fminunc(fun,X0 ，options)；
或x=fminsearch(fun,X0 ，options)
(3)[x，fval]= fminunc(...)；
或[x，fval]= fminsearch(...)
(4)[x，fval，exitflag]= fminunc(...)；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch
(5)[x，fval，exitflag，output]= fminunc(...)；
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch(...)
说明:
· fminsearch是⽤单纯形法寻优. fminunc的算法见以下⼏点说明：
[1] fminunc为⽆约束优化提供了⼤型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：
LargeScale=’on’(默认值)，使⽤⼤型算法
LargeScale=’off’(默认值)，使⽤中型算法
[2] fminunc为中型优化算法的搜索⽅向提供了4种算法，由
options中的参数HessUpdate控制：
HessUpdate=’bfgs’(默认值)，拟⽜顿法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，拟⽜顿法的DFP公式；
HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法
[3] fminunc为中型优化算法的步长⼀维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制：
LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的⼆次和三次多项式插值；
LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插
· 使⽤fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.
例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)
1、编写M-⽂件 fun1.m:
function f = fun1 (x)
f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
2、输⼊M⽂件wliti3.m如下:
x0 = [-1, 1];
x=fminunc(‘fun1’,x0);
y=fun1(x)
3、运⾏结果:
x=  0.5000    -1.0000
y =  1.3029e-10
例4  Rosenbrock 函数 f(x1，x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2的最优解(极⼩)为x*=(1，1)，极⼩值为f*=0.试⽤
不同算法(搜索⽅向和步长搜索)求数值最优解.
初值选为x0=(-1.2 , 2).
1. 为获得直观认识，先画出Rosenbrock  函数的三维图形,
输⼊以下命令：
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);
z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;
mesh(x,y,z)
2. 画出Rosenbrock  函数的等⾼线图，输⼊命令：
contour(x,y,z,20)
hold on
plot(-1.2,2,' o ');
text(-1.2,2,'start point')

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