【本讲教育信息】
一. 教学内容：
等差等比数列综合应用
二. 重点、难点
  1. 等差等比数列综合题
2. 数列与其它章节知识综合
3. 数列应用题
【典型例题】
[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。
解：等差数列为
∴
∴
∴  
代入（1）
   
①         ②  
∴ 此三数为2、16、18或、、
[例2] 等差数列中，，，是等比数列，，，所有项和为20，求：
（1）求
（2）解不等式
解：（1）∵     ∴
∴    
∴
不等式
[例3] 等差，等比，，，，求证：
解：    ∴
*
      ∴
      ∴
∴   时，
[例4] （1）求；（2），求。
解：
中共个数，依次成等差数列
共有数项
∴ 的第一个为
∴
[例5] 已知二次函数在处取得最小值，
（1）求的表达式；
（2）若任意实数x都满足等式为多项式，，试用表示和；
（3）设圆的方程为，圆与外切；是各项都是正数的等比数列，记为前n个圆的面积之和，求。
解：（1）设
由得    ∴
（2）将代入已知得：
上式对任意的都成立，取和分别代入上式得：
且，解得，
（3）由于圆的方程为
又由（2）知，故圆的圆心在直线上
又圆与圆相切，故有
设的公比为q，则
<2>÷<1>得  代入<1>得
∴
[例6] 一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（
分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。
解析一：设每期应付款x元
第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为元，……，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为
又所购电器的现价及利息之和为
∴
解得元
∴ 每期应付款176元
解析二：设每期付款x元，则
第1期还款后欠款进制数转换公式
第2期还款后欠款
……
第12期还款后欠款为
第12期还款后欠款应为0
∴
解得元
∴ 每期应还款176元
[例7] 设数列的各项都是正数，且对任意都有，记为数列的前n项和。
（1）求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意都有。
解：（1）在已知式中，当时，
∵     ∴
当时， ①
②
①－②得
∵     ∴ ，即
∵ 适合上式    ∴
（2）由（1）知， ③
当时， ④
③－④得
∵     ∴
∴ 数列是等差数列，首项为1，公差为1，可得
（3）∵     ∴
[例8] 已知点为函数上的点，为函数上的点，其中，设
（1）求证：数列既不是等差数列也不是等比数列；
（2）试比较与的大小。
（1）证：由已知，  ∴
假设是等差数列，则必有（1）
而
由（1）矛盾
∴ 不是等差数列
假设是等比数列，则必有
即
  即矛盾
∴ 不是等比数列
综上所述，既不是等差数列，也不是等比数列
（2）   
∴
∵
    ∴
∴       又∵     ∴
[例9] 设，有唯一解，，
（1）求的值；
（2）若。且，求证：；
（3）是否存在最小整数m，使得对于任意有成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。
（1）解：由，可以化为
∴
∴ 当且仅当时，有唯一解
从而    又由已知  得
∴ ，即
∴ 数列是首项为，公差为的等差数列
∴
∴
∵     ∴ ，即
∴
故
（2）证明：∵     ∴
∴
∴
（3）解：由于
若恒成立
∵     ∴
∴ ，而m为最小正整数    ∴
[例10] 数列是公差的等差数列，其前n项和为，且。
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值；
（3）将表示成关于的函数。
解：（1）因为
所以，函数是增函数
由已知，
所以
（2）因为，所以
所以即数列是首项为，公差为1的等差数列
所以，

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