初中数学竞赛辅导资料（11）
二元一次方程组解的讨论
甲内容提要
1． 二元一次方程组的解的情况有以下三种：
1 当时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
2 当时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
3 当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
　  （这个解可用加减消元法求得） 
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
乙例题　
例1.　选择一组a,c值使方程组
1 有无数多解，　②无解，　③有唯一的解
解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10,　c=14。
2 当　5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。　
解得a=10,　c≠14。
③当　5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2.　a取什么值时，方程组的解是正数？
解：把a作为已知数，解这个方程组
得  ∵　∴
解不等式组得  解集是6
答：当a的取值为6时，原方程组的解是正数。
例3.　m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？
解：把m作为已知数，解方程组得
∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。
　取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。
解得　m=9，7，10，6。
　经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买x,　y,　z粒,依题意得
由（1）得x= 100－y－z  (3)
把（3）代入（2），整理得
y=－200+3z－
设(k为整数)　得z=7k,  y=－200+20k,  x=300－27k
∵x,y,z都是正整数∴解得（k是整数）
∴10＜k<,  ∵k是整数，　∴k=11
即x=3（桃）,　y=20（李）,　z=77（榄橄）  (答略)
丙练习11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①　  ②  ③
2． a取什么值时方程组的解是正数？
3． a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？
4． 要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值？
5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
初中数学竞赛辅导资料（12）
用交集解题
甲内容提要
1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。
3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆
的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组解的集合就是
不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.                                 
如数轴所示：               
                  　
      0      　2    3
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
　有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）
乙例题
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝
  除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝
  除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝
集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
解：　二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；
其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；
平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23，17；　43，37；　53，47；　73，67共四组。
例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。
∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人；
只订B刊物的人数是21－6＝15人；
小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。
设N，N（A），N（B），N（AB），
分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得
［公式一］N＝+ N（A）+N（B）－N（AB）。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，
问：有多少人①只会打乒乓球　②同时会打篮球和排球　③只会打排球？
解：仿公式一,得［公式二］：
N＝+ N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC)
①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）
②求N（BC）可用公式二：
∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1
∴N（BC）＝3，　即同时会打篮球和排球的是3人
③只会打排球的是10－3－1＝6（人）
例5. 十进制中，六位数能被33整除，求x和y的值
解：∵0≤x，y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y>x－y
∵33＝3×11，
∴1＋9＋x+y+8＋进制数转换公式7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17
(1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数，　故x－y=－4，7
∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：
　   
解得             
（x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2
丙练习12
1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿
2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。
3． 12的正约数集合A＝｛    ｝，30的正约数集合B＝｛  　｝
12和30的公约数集合C＝｛  　｝，集合C是集合A和集合B的＿＿
4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：
①  ②③    ④
5． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
6． 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张
数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？
7． 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
8． 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？
10.　数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）
11. 
12.　十进制中，六位数能被21整除，求x,y的值（仿例5）
初中数学竞赛辅导资料（13）
用枚举法解题
甲内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中出规律。列举解答要注意：
1 按一定的顺序，有系统地进行；
2 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
3 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中到规律。
乙例题              　1　
例1　如图由西向东走，
从A处到B处有几
种走法？
                          　1                　
  解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如　从A到C有三种走法，在C处标上3，　从A到M（N）有3＋1＝4种，　从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）
例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。
解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左）
解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）
　X4 ，                                  X 4 ， Y4 ，  Z4
　X3Y，　X3Z，                          X3Y ， Y3Z ， Z3X
　X2Y2， X2Z2， X2YZ，                  X3Z ， Y3X，  Z3Y
  XY3，  XZ3，  XY2Z， XYZ2，          X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2
Y4，  Z 4    Y3Z，  Y2Z 2，  YZ3。    X2YZ，  Y2ZX， Z2XY
解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)
例3 讨论不等式ax<b的解集。
解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表
ax<0的解集
                b
    正
    负
    零
a
  正
  负
  零
当a>0时，解集是x<,  当a<0时，解集是x>,

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