⼆进制数的四种表⽰形式
---------以下内容为上⾯博客的学习笔记---------
计算机中的⼆进制数有四种主要表⽰形式，那就是原码、反码、补码和移码，其中最重要的是前三种。
1. 原码
对于⼈脑来说，我们都知道，+表⽰正数，-表⽰负数，然⽽在计算机⼆进制中也引⼊这两个符号肯定是不⾏的，因为在计算机中只有0和1这两个字，根本不认识“+”和“-”这两个符号。计算机中的任何⾏为都依赖于它的物理结构。计算机是没有思维的，所以得让计算机在0和1之间识别出对应数的正与负。
最开始的时候，⼈们约定在⼀个⼆进制数前⽤第⼀位（最⾼位）来表⽰符号，即1表⽰负，0表⽰正，这就是最初“原码”的概念。“原码”就是“原始码位”，或者“原始编码”的意思，就是对应⼆进制数本⾝所代表的形式。⽐如，+3（以8位字长为例，下同），符号位为0，3转化为⼆进制就是11，那么+3的原码就是00000011（最⾼位为符号位，正数的符号位为“0”，其余数值位不⾜部分补0）。同理， -3的符号位为1，3转化为⼆进制就是11，最终-3的原码就是10000011（不⾜8位时在前⾯⽤0补⾜）。在⽇常的书写中，原码的表⽰形式是⽤⽅括号下⾯加上⼀个“原”字下标来区别的，如[+3] 原= 00000011，[-3]原= 10000011。
再来计算+127和-127各⾃的原码。+127中符号位为“0”，127的⼆进制为“1111111”，这样[+127]原=01111111；⽽-127中的符号位也
为“1”，所以最终[-127]原=11111111。
最应该注意的是，在原码表⽰形式中，0有“+0”和“-0”之分。对应的原码分别是0 0000000和1 0000000。
2.补码
原码的设计很不错，⾄少可以成功地区分出⼆进制数的正与负了，但是这种⽅法仍有⼀些局限性，那就是原码在加、减法运算中不⽅便，符号位需要单独处理、单独判断。同为正数的加、减是没什么问题的，可是异号相加、减时就存在问题了。如1-1，如果⽤原码计算的话结果为-2，显然不正确。
(0 0000001)原 + (1 0000001)原 = (1 0000010)原 = -2
进制数转换公式另外，在原码中0有+0和-0两种表⽰形式，这就存在⼆义性了，在计算机中是绝对不能容忍的。于是后来就想到⼀种能解决原码中存在的这些问题的另⼀种表⽰形式——补码。
补码的编码规则如下：正数的补码和原码相同；
负数的补码是通过先把除符号位外其他各位取反，再在末位（最低位）加1得到的。负数求补规则：符号位不变，其余各位取反加1；
这样，我们只要让减数通过⼀个求反电路，再通过⼀个+1电路，然后再通过加法器就可以实现减法运算了。这样在计算机中⽅便表⽰
经验之谈　如果要把⼀个补码转换成原码该如何操作呢？很简单，只需要把原码转换成补码的过程倒过来操作就⾏了。因为正数的补码与原码⼀样，所以正数补码的原码就是其补码，⽽负数补码的原码是先在最后⼀位加1，然后对其除符号位外的其他各位全部取反得到。只有相同码制的数才能进⾏操作，结果就是对应的码制，也就是原码数与码数的运算，结果也为原码，反码数与反码数的运算结果也为反码，补码数与补码数的运算结果也为补码。如果结果是负数，要判断结果是否正确，需要再将其对应的码制转换为原码。
补码⾸先继承了原码的特点（可以表⽰正与负），⽽且它包括了两个优点：
可以把符号位⼀起运算；
0只有⼀种表⽰形式，没有⼆义性。
下⾯同样以上⾯的1-1为例，如果采⽤补码形式，则算式如下：
(0 0000001)补 + (1 1111111)补 = 0 0000000 = 0
结果完全正确。其实这⾥涉及⼀个计算机运算中“模”的概念
我们把⼀个计量单位称为模或模数。例如，时钟是以⼗⼆进制进⾏计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数倍或减去（反拨）12的整数倍，时针的位置不变。例如，14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）；从0点出发逆时针拨10格即减去10⼩时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2⼩时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。
由此可见，对于⼀个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是⼀样的。所以，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以⽤加2来代替，这样就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以⼤部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12⽽⾔互为补数。
同理，计算机的运算部件与寄存器都有⼀定字长的限制，因此它的运算也是⼀种模运算。如果字长为8，则当计数器计满8位也就是256个数后会产⽣溢出，⼜从头开始计数。产⽣溢出时的那个量就是计数器的模。显然，8位⼆进制数的模数为2的8次⽅，即256。在计算中，两个互补的数称为“补码”，这就是“补码”表⽰形式诞⽣的由来。
⼗进制数2-3=(0 0000010)补 +(1 1111101)补 =(11111111)补 = -1，也是正确的。⼗进制数123-121=(0 1111011)补+(1 0000111)补=(0 0000010)补= 2，也是正确的。
另外，在补码表⽰形式中，0仅有⼀种表⽰形式，因为⽆论是“+0”，还是“-0”的补码均为0 0000000。
2. 补码的加法运算
补码的加法运算法则如下：
该式表明，两个有符号数相加的补码可以通过先分别对两个数求补码，然后相加得到。在采⽤补码形式表⽰时，进⾏加法运算时可以把符号位和数值位⼀起进⾏运算（若符号位有进位，则溢出不管），结果为两数之和的补码形式。
3.补码的减法运算
补码的减法运算法则如下：
该公式表明，求两个机器数的差值（如[X-Y]补）的补码，可以通过求被减数的补码（如[X]补）与减数的负值的补码（[-Y]补）的和得到。[-Y]补是对减数进⾏求负操作，求负的规则是全部位（含符号位）取反后再加1（实际上也是分别对符号位和真值位进⾏求反，因为正数与负数的符号也正好相反）。例如：已知[15]补= 00001111，则[-15]补=11110000+1=11110001。
现在假设X=＋35，Y =＋18，要求[X-Y]补（字长为8）。

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