2021-2022学年福建省莆田市荔城区、仙游县九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运
会又举办过冬季奥运会的城市．下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是(    )
A.    B.    C.    D.
2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(    )
A. x+1
=2  B. 2x2−x=1  C. 3x3=1  D. xy=4
x
3.下列事件为必然事件的是(    )
A. 抛掷一枚硬币两次，则一定会出现一次“正面向上”
B. 画钝角三角形的一条高，这条高恰好在三角形的内部
C. a取一个值，方程ax2+x+1=0刚好是一元二次方程
D. 一个袋子中有2个红球，2个白球，从中任意摸出3个球，则一定既有红球也有白球
4.⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是(    )
A. 点P在⊙O内
B. 点P在⊙O外
C. 点P在⊙O上
D. 无法确定
5.八卦图是中国古老的科学文化遗产，是我国古代劳动人民智慧的结晶，古人认为，世间万
物皆可分类归至八卦之中，相传，德国数学家莱布尼茨受八卦图的启发而发明了电子计算机使用的二
进制．八卦图中的每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是(    )
A. 1
8B. 1
数学二进制的算法
2
C. 3
8
D. 5
8
6.将抛物线y=(x−2)2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为(    )
A. y=x2+3
B. y=x2−1
C. y=x2−3
D. y=(x+2)2−3
7.如图，AB、AC、BD分别切⊙O于点P、C、D.若AB=5，AC=3，
则BD的长是(    )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
8.南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步？设矩形的长为x步，则可列出方程为(    )
A. x(x−60)=864
B. x(60−x)=864
C. x(x−30)=864
D. (x−30)(x−60)=864
9.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，
要完成这一圆环还需正五边形的个数为(    )
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
10. 二次函数y =ax 2+bx +c(b ≤0)图象经过点(−2,4)，(0,−2)，(2,m)，其中m ≥−2，以下选项错误的是(    )
A. a +b <32
B. 34≤a ≤32
C. 2a +b ≥0
D. −2≤m ≤4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 点A(2,−1)关于原点对称的点B 的坐标为______ ．
12. 一张扇形纸片，半径是6，圆心角为120°，将它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为______．
13. 已知x =1是方程x 2+ax +2=0的一个根，则方程的另一个根为______．
14. 如图，在⊙O 内有一个平行四边形OABC ，点A ，B ，C 在圆上，
点N 为边AB 上一动点(点N 与点B 不重合)，⊙O 的半径为1，则阴影部
分面积为______．
15. 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s =20t −5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．
16. 如图，矩形ABCD 中，AD =6，AB =8，AB 是⊙O 的直径，
将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，且AD′交⊙O 于
点E ，
AB′交⊙O 于点F ，D′C′与⊙O 相切于点M.下列说法正确的有______.(只填写序号)
①AE =4，②AE
⏜=EM ⏜=MB ⏜，③AF =4√3，④∠DAD′=30°．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
解下列方程：
(1)x 2−4x −5=0；
(2)2x 2−5x +2=0．
18.(本小题6.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+2m=0.证明：无论m为何值时，这个方程总有实数根．
19.(本小题8.0分)
已知二次函数y=ax2+b的图象与直线y=x+1相交于点A(2,m)和点B(n,0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合图象直接写出ax2+b>x+1时x的取值范围．
20.(本小题8.0分)
如图，点D是等边△ABC内一点．
(1)在△ABC外求作一点E，使得△BCD≌△ACE；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若AE//DC，求∠BDC的度数．
21.(本小题8.0分)
仙游县教师进修学校未成年人校外心理健康辅导站多年来一直致力于未成年人心理健康服务工作．2021年9月疫情期间，辅导站对全县135057名中小学生进行了心理普测，探索出“云
端”守护学生心灵的服务模式，受到了社会的广泛赞誉．为了更好地服务未成年学生，该辅导站对全县学生是否需要心理辅导进行随机问卷调查，得到以下统计表：
调查人数5000100001500020000
需要心理辅导的
163294446602
人次
需要辅导的频率0.03260.02940.02970.0301 (1)通过以上数据估计，任意调查一名我县学生，这名学生需要心理辅导的概率大约是______；(精确到0.001)
(2)辅导站通常使用A(会谈技术)、B(绘画分析)、C(沙盘游戏)、D(音乐放松)四种方式对需要辅导的学生进行公益心理辅导．在某次心理辅导服务中，有2名学生选择了A方式，1名学生选择B方式，2名学生选择C方式．辅导站的陈老师准备从这5名学生中选择2人进行辅导，请用列表法或树状图求选中的学生恰好都是选择A方式的概率．
22.(本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，D在AB上，C为⊙O上一点，AD=AC，CD的延长线与⊙O交于点E．
(1)点F在CD的延长线上，BC=BF，求证：BF是⊙O的切线；
(2)若AB=2，CE=√2，求∠CAE的度数．
23.(本小题10.0分)
2021年10月16日神舟13号载人飞船再次发射成功，昭示着中国人奔赴星辰大海的步伐从未停止．航空航天产业有望成为万亿规模的市场．某铝业公司生产销售航空铝型材，已知该型材的成本为8000元每吨，销售单价在1万元/吨到2万元/吨(含1万元/吨，2万元/吨)浮动，根据市场销售情况可知：当销售单价为1万元/吨时，日均销量为10吨；销售单价每上升1000元，则日均销量降低0.5吨．

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