2019
年第
1
期
国际学术动态
变分方法及其在非线性问题中的应用
南开大学数学科学学院
第4届变分方法国际会议于2018年5月14~18日在南开大学召开。本次研讨会的主题是“变
分方法及其在非线性问题中的应用”。会议主要组织者是天津大学、美国犹他州立大学王志强教授，广州大学刘春根教授，南开大学段华贵教授、张端智教授和朱朝锋教授。本次会议吸引了来自美国、法国、德国、英国和中国等国家和地区的180多位代表参会。
本次会议共举办了32场学术报告并进行讨论，内容涉及闭测地线、哈密顿系统周期解、天体力学N 体问
题、临界点理论与微分方程以及几何分析随机动力系统等其它相关领域。
（1）关于闭测地线
紧流形上闭测地线的研究是许多数学家所关心的问题。众所周知，著名的莫尔斯理论的起源便是对于测地线的研究。早在1905年，Poincare 就研究了凸曲面上的闭测地线，得到很深刻的结果。此后著名数学家Birkhoff 、Morse 、Lyusternik 与Schnirelmann 等人都研究过闭测地线问题，并由此创建了新的数学理论，这些理论在数学的各个分支中都得到了广泛的应用。尽管如此，关于任意紧Riemann 流形上在那个度量下无穷多条闭测地线的著名猜想迄今仍未解决。
在本次会议上，南开大学段华贵教授报告了他和龙以明教授合作关于单连通紧流形上闭测地线多重性研究的最新进展，利用他们证明的关于从恒等矩阵出发辛道璐Maslov 型指标的拟周期性以及整体同调的迭代性质和Morse 理论，他们证明任意大于等于2维紧单连通Finsler 或者黎曼流形上存在至少两条闭测地线。德国莱比锡大学Hans-Bert Radermacher 教授在报告中给出了截面曲率大于等于1的n 维黎曼球面上闭路空间长度函数的临界值与n-1阶定点闭路空间同调之间的关系；证明n-1
阶同调类中临界代表元长度小于等于2，等号成立当且仅当标准单位球面情形；作为推论由此得到Itokawa 和Kobayashi1991年、2005年和2008年相关结果。俄罗斯科学院院士、Sobolev 数学研究所
Iskander Taimanov 教授给出了非单连通流形上闭测地线的存在性问题，以及相应函数空间的拓扑。北京大学王嵬教授对自己与合作者近几年来对紧Finsler 流形上闭测地线的多重性与稳定性的研究成果作了系统的介绍。
（2）关于闭Reeb 场、闸轨道、M aslov 指标
辛流形上Hamilton 系统的研究是辛几何中的重要课题，其中有许多重要的猜想。
在本次会议上，美国加州大学圣克鲁兹分校Viktor Ginzburg 教授介绍了他与合作者在拟量子化丛上闭Reeb 轨道的多重存在性结果，包括一些下界以及类似Conley 猜想的无穷多调闭Reeb 轨道存在性。南开大学张端智教授介绍了他与合作者在偶数维可逆环面上非自治周期可逆哈密顿系统闸轨道的多重性结果，证明对应于环面上Conley 猜想在周期边值意义非退化至多一条双曲条件之下存在无穷多条闸轨道。同时张端智教授还介绍了对应于闸轨道边值辛道璐的M aslov 型指标及其迭代理论以及它在Seifert 猜想相关问题中的应用。南开大学朱朝锋教授介绍了他和合作者在M aslov 指标理论方面的最新进展，对于辛Banach 空间定义了M aslov 指标并给出了相应的性质与谱流公式，推广了已有的结果。
（3）关于天体力学与N 体问题
天体力学一直是数学、天文学和力学研究的核心研究之一。星体运动的稳定性问题一直是天体力学和天文学的核心问题。从数学上它可以解释为研
收稿日期：2018-08-31
专题述评
45
20 19年第
1期
国际学术动态究N体问题的周期解的稳定性。近几年来变分方法
和M aslov型指标理论被应用以理解天体力学中周
期解的线性稳定性问题。之前这个问题的研究主要
是利用摄动或者数值的方法，但对于具有一般离心
率的椭圆运动解摄动方法不适用。利用指标迭代理
论方法，可以对具有一般离心率的N体问题的平面
中心构型形成的椭圆运动周期解的线性稳定性区域
建立了新的分析研究方法。
和周期解及碰撞关系密切的是中心构型的概
念，它是天体的这样一种相对位置，当以零初速度释seifert
放天体时，在万有引力的作用下所有天体将在重心
同时发生碰撞。数学上中心构型是由重力势函数的
梯度确定的实系数代数方程组(高度非线性)的解。
中心构型和天体力学中的诸多课题有密切的关系，
如周期解的构造、完全碰撞的极限构型以及N体问
题的不可积性等。对3体问题，共有五种中心构型，
但当体数N>3时对于任意给定的正质量中心构型
的数目是否有限，仍是一个近百年的公开问题，被著
名数学家Smale列为21世纪待解决的18个重大难
题之一。目前只在平面4体和在通有的意义下的5
体情形已被解决。
在此次会议中，来自法国巴黎天文台的Alain
Chenciner教授介绍了高维空间中N体问题的相对
平衡点及其相关问题。来自清华大学的陈
国璋教授介绍了他在开普勒解的变分方面进一步的
研究成果。来自山东大学的胡锡俊教授综述了他与
合作者利用Maslov型指标理论在平面N体问题椭
圆相对平衡点稳定性方面的研究成果。来自南方科
技大学的夏志宏教授介绍了太阳系小行星及其演
化，并给出了很多例子和观测数据。来自意大利都
灵大学的余国伟教授介绍了他在具有对称性与拓扑
约束的平面N体问题中寻非碰撞周期解的最新
研究成果。
（4）关于临界点理论与微分方程
变分法与临界点理论在微分方程解的存在性与
多重性的研究中发挥了巨大的威力。中国科学院院
士、北京大学张恭庆教授介绍了他和合作者在凸多
面体边界上的Lipschitz函数的临界点理论方面的
最新成果，并将其应用到图上1-Laplacian的谱理论
研究之中。挪威科学院院士、法国巴黎九大Ivar
Ekeland教授和合作者利用Ekeland变分原理证明
了Banach空间之间映射的局部满射定理，并给出了
在光滑映射空间之间的局部满射结果。
澳大利亚新英格兰大学杜一宏教授、法国勃艮
第大学Louis Jeanjean教授、北京大学蒋美跃教授、
美国威廉玛丽大学史峻平教授、日本早稻田大学
Kazunaga Tanaka教授、加拿大不列颠哥伦比亚大学
魏军城教授以及华东师范大学周风教授分别介绍了
他们在Fisher-KPP方程、一类梯度项超二次增长非
强制椭圆方程、1维自制周期方程的度计数公式、具
有超二次非线性项薛定谔型椭圆系统、非线性标量
场方程、Gross-Pitaeskii方程与KP-I方程以及
Lane-Emden方程正解的存在与不存在性中的最新
研究成果。
Navier Stokes方程是流体力学中描述粘性牛顿
流体的方程，是目前为止尚未被完全解决的方程，我
们对它们的理解仍然极少。流体无粘性时考虑Euler
方程。这些都是数学家和物理学家非常关心的问题。
此次会议上，美国罗格斯大学李岩岩教授在报告中
分析了不可压平稳Navier Stokes方程-1齐次周对
称解的存在性与分类、德国吉森大学Thomas Bartsch
教授、中国科学院与广州大学曹道民教授、华中师范
科学大学彭双阶教授以及美国佐治亚理工与南开大
学曾崇纯教授通过变分方法、扰动方法、研究了二维
Euler方程一些解的存在性唯一性等相关问题，并介
绍了最新的进展。
（5）其它
变分方法在几何问题的研究中有着巨大的威力
和广泛的应用。在此次会议中，德州大学圣安东尼
奥分校桂长峰教授、首都师范大学孙善忠教授和澳
大利亚国立大学汪徐家教授分别介绍了他们在球覆
盖不等式、局部凸曲面空间曲线四顶点定理和次黎
曼几何非嵌入定理方面的最新研究成果和应用。美
国杨百翰大学吕克宁教授介绍了随机动力系统的一
些进展，包括SRB测度的存在性、熵、无穷维动力系
统的马蹄等。
本次会议为变分法相关领域的专家学者提供了
一次展示自己科研成果和相互交流的机会，能够很
好地促进相同或相近领域之间的科研工作者的相互
学习及合作，从而促进相关学科领域的发展。此外，
本次会议为年轻的教师和学生们提供了一次非常宝
贵的学习和锻炼机会，这也有利于相关领域未来的
发展。
专题述评
46

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。