哈特曼-夏克波前传感器的最优模式复原
童桂;廖文和;梁春
【摘 要】为了减少波前探测斜率噪声对于基于哈特曼-夏克波前传感器的Zernike复原模式的影响,采用对波前复原矩阵斜率噪声影响的相关分析和线性解耦变换的方法,得到一组基于哈特曼-夏克传感器斜率探测噪声的Zernike最优复原模式,通过合理剔除波前模式复原中易受噪声影响的模式组合,减少了波前测量噪声引起的波前模式复原误差;采用蒙特卡罗随机试验法,验证了一子孔径成方形排布的波前传感器对于波前斜率噪声的受影响程度,仿真结果显示,复原模式系数误差由0.0212λ下降为0.0048λ.结果表明,在剔除部分模式项后,最优复原模式统计优化对于滤除波前斜率探测噪声有一定的作用,提高了波前探测器的探测精度和复原能力.
【期刊名称】《激光技术》
【年(卷),期】2008(032)004
【总页数】4页(P387-389,392)
【关键词】测量与计量;最优模式;相关分析;探测噪声
【作 者】童桂;廖文和;梁春
【作者单位】南京航空航天大学,机电学院,南京,210016;南京航空航天大学,机电学院,南京,210016;南京航空航天大学,机电学院,南京,210016
【正文语种】中 文
【中图分类】TP212.14
引 言
哈特曼-夏克(Hartmann-Shack,H-S)波前传感器常作为自适应光学系统的核心器件之一，用于探测入射孔径内的畸变波前[1-2]。波前复原算法通常采用区域法、直接斜率法和模式法[3-4]，入射畸变波前的模式法复原有助于对自适应光学的理解，在一些特殊应用场合(例如人眼波前像差测量)模式法与传统的离焦、像差等相对应，其中模式法经常采用以Zernike多项式为基底函数进行波前模式复原[5-6]。由于H-S波前传感器的空间分辨率是有限的,其理论上的空间分辨率不会好于1/d(d为传感器子孔径直径),所以基于Zernike模式法可准确复原模式阶数也有范围。YANG等人[7]分析了不同子孔径分布的模式正交化原理，得出了模式
耦合是影响模式复原精度的主要原因。DUAN等人[8]分析了模式正交性对于波前测量的影响，结论指出模式正交性并不是模式复原的必要条件。LI等人[9-11]介绍了在湍流大气中H-S传感器的波前模式探测误差。通过上述文献可知，模式正交性并非模式复原的必需条件，在复原矩阵满秩的情况下，通过正交化方法即可准确复原波前的曲面形式。然而由基于Zernike多项式的模式复原算法具体形式可知，H-S波前传感器的波前探测误差对于波前模式复原结果的影响最终可理解为波前探测误差导致子孔径内波前形心的位置偏移，从而引起子孔径波前探测的斜率噪声。由于波前探测斜率噪声对于复原模式的影响彼此相关，误差对于波前探测精度的影响较难通过剔除部分模式项进行滤波。于是作者提出一种对于波前斜率探测误差解耦的最优复原模式，通过该模式序列不仅能准确复原由斜率探测所获得的波前模式分布，而且在合理分析优选最优复原模式后，对于波前斜率探测噪声有一定抑制作用，从而减小探测误差对波前模式复原系数的影响。
1 H-S波前模式复原
典型H-S波前传感器由一组微透镜阵列和CCD组成，其中微透镜阵列将入射波前分解为若干子孔径内的子波前分别聚焦在探测CCD上，通过计算CCD上实际焦点像和理想焦点位置
之间的偏移量，从而得到子孔径内的平均斜率。波前传感器的斜率测量精度与波前传感器子孔径尺寸布局、CCD光电噪声、CCD读出噪声等多种因素有关。在不考虑波前探测噪声时，定义基于波前传感器的波前模式复原算法：
Ga=g
(1)
式中，G∈Rmn波前模式复原微分矩阵，m为子孔径的总数，n为模式复原中Zernike多项式阶数，a=[a1,a2,…,an]，为Zernike多项式系数；g=[g1,g2,…,gn]，为波前测量的平均斜率。通常情况下，m>n，则超定方程组求解：
a=G+g
(2)
式中，G+为矩阵G的广义逆矩阵。由波前模式复原算法拟合的波前像差：
(3)
式中，W(x,y)为指定拟合的入射畸变波前，ai为Zernike多项式模式复原系数，Zi(x,y)为各阶Zernike多项式，εN为拟合残余误差。归一化的Zernike多项式在单位圆s中满足：
2 H-S波前传感器的模式复原误差
2.1 无斜率探测噪声下H-S波前模式复原
由(2)式复原波前像差，其中广义逆矩阵可由正则方程组定义，即：
a=G+g=(GTG)-1GTg
(5)
其中广义逆矩阵G+=(GTG)-1GT。入射畸变波前通过Zernike多项式进行模式拟合，理论上应通过无限项Zernike模式拟合才不会出现波前复原误差，然而这种情况实际上是无法满足的。通过有限阶Zernike多项式进行拟合，必然带来了模式截断误差和模式混淆误差[10]。
无探测噪声下基于波前传感器模式复原算法的截
断误差和混淆误差可表示为：
(6)
式中，截断误差；混淆误差其中，为有限项Zernike模式复原系数；当当p>q时，低阶模式像差混淆为高阶模式像差；当p<q时，此时高阶像差混淆为低阶像差。
假设一畸变波前由前65阶Zernike多项式组成，模式系数在一定范围内随机产生，通过选取不同模式项数的模式复原算法可以考察无探测噪声时波前模式复原误差的变化情况，拟合结果如图1所示。其中模式截断误差随着模式复原阶数的增加而减少；而模式混淆误差的情况比较复杂，跟具体的Zernike模式有关，结果显示由前30项～40项复原时混淆误差变化不大；总的模式复原误差也跟具体涉及的复原模式有关。
Fig.1 The cutting error and confusion error based on the Zernike modal reconstruction
2.2 斜率探测噪声下最优模式复原
H-S波前传感器是通过测量子孔径区域范围内的系统平均斜率来重建畸变波前形态，所以系统误差、测量误差等最终都可以反映在测量所得到的斜率误差上。斜率测量噪声gn，通常都可以看作是零均值的高斯白噪声[9]，即:
(7)
式中，σn是斜率噪声的方差；〈#〉表示向量内积；I是n维单位矩阵。由于斜率噪声对于Zernike多项式模式像差的影响是耦合的，即任何一子孔径斜率误差gn不仅影响某一单项Zernike多项式，而是引起多项Zernike模式像差产生误差:
Ga′=g+gn
(8)
a′斜率探测噪声下的模式复原系数向量，a为无探测噪声下的模式复原系数向量，则由Zernike模式复原系数相关矩阵：
Ca′a′=(a′a′)=G+(g+gn)(g+gn)T(G+)T (9)
seifert
则由(7)式可知：
Ca′a′=G+ggT(G+)T+G+gngnT(G+)T=
(10)
由(10)式可知，复原模式系数向量不仅与入射畸变波前的斜率向量有关，而且也与斜率探测噪声有关。由于矩阵G+(G+)T不是单位对角阵，则复原模式系数向量之间彼此相关。举例而言，假如入射波前中只有球差项，则由于波前探测器探测噪声的影响，复原模式中将不仅仅包含球差模式项，并且斜率探测噪声对于各阶Zernike波前模式复原影响程度各异。

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