4．2.2　对数运算法则
【课程标准】
理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)log a(MN)＝____________，
(2)log a M
N
＝____________，
(3)log a M n＝____________(n∈R).
状元随笔　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
知识点二　对数换底公式
log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).
特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．
状元随笔　对数换底公式常见的两种变形
(1)log a b·log b a＝1，即
1
log
a
b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值
与原对数值互为倒数 .
(2)log N n M m＝m
n
log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次
方，所得的对数值等于原来对数值的m
n
倍．
基础自测
1．下列等式成立的是(  ) A．log2(8－4)＝log28－log24
B．log28
log24＝log28
4
C．log28＝3log22
D．log2(8＋4)＝log28＋log24 2.log49
log43
的值为(  )
A．1
2
  　B．2  C．
3
2
  　D．
9
2
3．2log510＋log50.25＝(  )
A．0  　B．1C．2  　D．4
4．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　用已知对数表示其他对数[经典例题]
例1　用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg (xyz)；(2)lg x y2 z
；
(3)lg x y3
z
；(4)lg
√x
y2z
.
方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练1　如果lg2＝m，lg3＝n，则lg12
lg15
等于(  )
A．2m+n
1+m+n
B．
m+2n
1+m+n
C．
2m+n
1−m+n
D．
m+2n
1−m+n
题型2　对数运算性质的应用[经典例题]
逆用对数的运算法则合并求值．
例2　(1)计算lg2＋lg5＋2log510－log520的值为(  ) A．21  B．20　
C．2  　D．1
(2)求值：log2√748＋log212－12log242.
方法归纳
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
跟踪训练2　(1)计算：lg5
2
＋2lg2－(12)−1＝________．
利用对数运算性质化简求值．
(2)求下列各式的值．
①log53＋log51 3；
②(lg5)2＋lg2·lg50；
③lg25＋2
log ln lg的互换公式
3
lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
题型3　对数换底公式的应用[经典例题]
例3　(1)已知2x＝3y＝a，1
x
＋
1
y
＝2，则a的值为(  )
A ．36 
B ．6
C ．2√6
D ．√6
(2)计算：log 89·log 2732.
(3)已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.
状元随笔　(1)利用换底公式化简．
(2)利用对数运算性质化简求值．
方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．
(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log a n b m ＝m n
log a b .跟踪训练3　(1)式子log 916·log 881的值为(  )
A ．18  　
B ．118
C ．8
3D ．38
(2)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________；(用p ，q 表示)
(3)①已知log 147＝a ，14b ＝5，用a ，b 表示log 3528；

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