高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解 第2讲 基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
考点一 基本初等函数的图象与性质 核心提炼
指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
例1 (1)(2022·杭州模拟)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log b
x
的图象可能是(  )
答案 B
解析 ∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，
∴ab ＝1，∴a ＝1b
， ∴g (x )＝1log b
x ＝log a x ，
∴函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log b
x 互为反函数，
∴函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log b
x 的图象关于直线y ＝x 对称，且具有相同的单调性．
(2)若对正实数x ，y 有log 2x －log 2y <3－x －3－
y ，则(  ) A ．ln(y －x ＋1)>0  B ．ln(y －x ＋1)<0
C ．ln|x －y |>0
D ．ln|x －y |<0
答案 A
解析 设函数f (x )＝log 2x －3－
x . 因为y ＝log 2x 与y ＝－3－
x 在(0，＋∞)上均单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 原不等式等价于log 2x －3－x <log 2y －3－
y ， 即f (x )<f (y )，
所以y >x >0，即y －x >0，
所以A 正确，B 不正确；
又|x －y |与1的大小关系不确定，
所以C ，D 不正确．
规律方法 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a 的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a 的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1 (1)(2022·山东名校大联考)若a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝e 0.2，则a ，b ，c 的大小关系为(  )
A ．b <a <c
B ．c <a <b
C ．b <c <a
D ．a <b <c
答案 A
解析 由对数函数的单调性可知
0＝log 31<log 32<log 33＝1，
即0<a <1，且1a
＝log 23，
又0＝log 51<log 52<log 55＝1，
即0<b <1且1b
＝log 25，又log 23<log 25， 即1a <1b
，所以a >b ， 又根据指数函数的单调性可得c ＝e 0.2>e 0＝1，
所以b <a <c .
(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．
答案 [1，＋∞)
解析 由10x －6x －3x ≥1，
可得⎝⎛⎭⎫110x ＋⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫310x ≤1.
令f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x ＋⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫310x ，
因为y ＝⎝⎛⎭⎫110x ，y ＝⎝⎛⎭⎫35x ，y ＝⎝⎛⎭
⎫310x 均在R 上单调递减，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1， 所以f (x )≤f (1)，即x ≥1.
故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．
考点二 函数的零点 核心提炼
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1 函数零点个数的判断
例2 已知f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－
log 5|x |的零点个数是(  )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
答案 D
解析 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，函数y ＝f (x )的周期为2且为偶函数，其图象关于y 轴对称，可作出函数f (x )的图象．函数y ＝log 5|x |的图象关于y 轴对称，函数y ＝g (x )的零点，即为两函数图象交点的横坐标，当x >5时，y ＝log 5|x |>1，此时两函数图象无交点，如图，
又两函数的图象在x >0上有4个交点，由对称性知两函数的图象在x <0上也有4个交点，且它们关于y 轴对称，可得函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点个数为8.
考向2 求参数的值或范围
例3(2022·河北联考)函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，则k 的取值范围是________．
答案⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞
解析 因为函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，
所以方程e x ＝kx 2有三个不同的实数根，显然x ＝0不是方程的实数根，
所以方程e x
x 2＝k (k >0)有三个不同的非零实数根， 令h (x )＝e x
x 2，则h ′(x )＝(x －2)e x x 3
， 所以当x <0时，h ′(x )>0，
当0<x <2时，h ′(x )<0，
当x >2时，h ′(x )>0，
所以函数h (x )＝e x
x 2在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减， 因为当x 趋近于－∞时，h (x )趋近于0，当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于＋∞，当x 趋近于0时，h (x )趋近于＋∞，
所以函数h (x )的大致图象如图所示，h (2)＝e 24
，
所以当方程e x x 2＝k (k >0)有三个不同的实数根时，k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞. 规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x ，x <0，x ，x ≥0，
若关于x 的方程f (x )＝a (x ＋1)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．
答案⎝⎛⎭
log ln lg的互换公式⎫0，12 解析 作出函数f (x )的图象，又直线y ＝a (x ＋1)过定点P (－1,0)，如图，当直线y ＝a (x ＋1)与y ＝x 的图象有两个交点时满足题意，需满足a >0， 由⎩⎨⎧
y ＝a (x ＋1)，y ＝x ，
得ax －x ＋a ＝0，令t ＝x ， 则at 2－t ＋a ＝0有两个正根，
所以Δ＝1－4a 2>0，解得－12<a <12
， 此时t 1t 2＝1>0，t 1＋t 2＝1a >0，所以0<a <12.

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