全国名校高二期末名师押题卷（1
）答案与提示一、选择题
1.D
2.A
3.B
4.C  提示:
对于A 选项，由样本数据得到的线性回归方程^y =^b x +^a 必过样本点的中心(x ,y )
，正确；对于B 选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确;
对于C 选项，用相关指数R 2来刻画回
归效果,R 2
的值越小，说明模型的拟合效果越差，错误;
对于D 选项，若变量y 和x 之间的相关
系数r =-0.9362,|r |>0.75
，则变量y 与x 之间具有线性相关关系,
正确㊂5.D  提示：因为y =e x
+1，所以y '=
e x
㊂设切点为(x 0,e x
0+1)，则y '|x =x 0
=e x
=1，解得x 0=0，所以切点为(0,2)㊂点(0,2)到直线x -y -3=0的距离d =52=5
2
2㊂所以曲线y =e x
+1上的点到直线x -
y -
3=0的距离的最小值是5
2
2㊂6.C  提示：设 整数对 为(m ,n )(m ,n
ɪN *
)
，由已知条件发现点列的排列规律是m +n 的和从2开始，依次是3,4, ，其中m 依次增大㊂
当m +n =2时，只有1个,(1,1
)；当m +n =3时，有2个,(1,2),(2,1)；当m +n =4时，有3个,(1,3),(2,2)
,
(3,1
);
当m +n =12时，有11个,(1,11),(2,10), ,(11,1
)；以上共有1+2+3+ +11=
11ˑ(1+11
)2
=66
(个)整数对㊂所以第67个 整数对 为(1,12)，第68
个 整数对 为(2,11)，第69个
整数对 为(3,10
)㊂7.B  提示：因为随机变量ξ~B (2,p )
，
所以P (ξȡ1)=1-P (ξ=0
)=1-(1-p )2
=
59，解得p =13，故η~B 4,1
3
㊂则P (ηȡ2)=1-P (η=0)-P (η=1)
=1-1-1
3
4
-C 1
4
1-1
3
3
㊃
13
1
=1127
㊂8.A 提示:x =
9+9.5+10+10.5+11
5
=10,y =
11+10+8+6+55
=8㊂因为经验回归直线^y =
^b x +40过点(x ,y )
，所以8=10^b +40，解得^b =-3.2㊂因此,^y =-3.2x +40㊂当x =11时,^y =4
.8，则相对于点(11,5)的残差为5-4.8=0.2
㊂9.C  提示:
若甲㊁乙都没有被选派，则共有A 4
4=24(种)方案㊂若甲㊁乙有且仅有1人被选派，则共有C 12C 13A 3
4=144(种)方案㊂若甲㊁乙均被选派，则共有C 14C 13A 33=
72(种)方案㊂
综上所述，不同的选择方案有24+
144+72=240
(种)㊂10.D  提示：因为f (-x )=2(-x )3
+
4x +2(e -x
-e x
)=-f (x )，所以f (x )
是奇函数㊂
由f (5a -2)+f (3a 2
)ɤ0，得f (5a -2)ɤ-f (3a 2)=f (
-3a 2
)㊂又因为f '(x )=6x 2-4+2(e x +e -x
)
ȡ
6x 2
-4+2ˑ2
e x
㊃e
-x
=6x 2
ȡ0
，所以f (
x )在R 上单调递增㊂因此,5a -2ɤ-3a 2，即3a 2
+5a -2ɤ
0，解得-2ɤa ɤ
1
3
㊂11.D 提示：因为a n =l o g n (
n +1)=l g (n +1)l g n ，所以a 1㊃a 2㊃a 3㊃ ㊃a k =l g 3l g 2
㊃l g 4l g 3㊃l g 5l g 4㊃ ㊃l g (k +1)l g k =l g
(k +1)l g 2
=
l o g 2(
k +1)㊂又因为a 1㊃a 2㊃a 3㊃ ㊃a k 为正整数,
所以k +1必须是2的n (n ɪN *
)
次幂，即k =2n
-1
㊂
因此,k ɪ[1,2023]
内所有的 吉祥数 的和S =(21-1)+(22-1)+(23
-1)+
(24
-1)+ +(210
-1)=2(1-210
)
1-2-10=
2036
㊂12.B 提示：易得f (x )
为偶函数，则p =f e -6
7
,q =f l n 87  ,r =f
17
㊂当x ȡ0时,f
'(x )=-2x +s i n x ,f
ᵡ(x )=-2+c o s x <0，则f '(x )在(0,+ɕ)上单调递减㊂故f '(x )ɤf '(0)=0,f (
x )在(0,+ɕ)上单调递减㊂
设g (x )=e x -x -1，则g '(x )=e x
-
1
㊂当x ɪ(-ɕ,0),g '(x )<0,g (x )单调递减;
当x ɪ(0,+ɕ)时,g '(x )>0,g (
x )单调递增㊂
所以当x =0时,g (x )取得最小值,g (0)=0，故e x
ȡx +1，当x =0时,
等号成立㊂因此,e
-6
7
>-67+1=1
7
㊂
设h (x )=l n x -x +1，则h '(x )=1
x
-1=1-x
x
(x >0)㊂当x ɪ(0,1)时,h '(x )>0,h (x )
单调递增；当x ɪ(1,+ɕ)时,h '(x )<0,h (x )单调递减㊂
所以当x =1时,h (x )取得最大值,h (1
)=0，则l n x ɤx -1，当x =1时,
等号成立㊂所以l n 87<87-1=1
7㊂
故e
-67
>17>l n 87>0，则f e
-6
7
<
f
17  <f l
n 8
7
㊂二㊁填空题
13.12
14.2
3
提示:
设所选3题中李明能答对的题数为X ，则X 服从参数为N =10,M =
6,n =3的超几何分布，且P (X =k )=C k
6C 3-k
4
C 310
(k =0,1,2,3)，故所求概率为P (X ȡ
2)=P (X =2)+P (X =3)=C 2
6C 1
4C 310+C 3
6C 0
4
C 310
=
60120+20120=2
3
㊂15.0或
1
2
提示：由y =x +l n x ,
得y
'=1+1
x
(x >0)，所以曲线y =x +l n x 在点(1,1)处的切线的斜率k =y '|x =1=2，切线方程为y =2x -1㊂因为切线y =2x -1与
曲线y =a x 2
+(2a +3)x +1只有一个公共点，所以方程2x -1=a x 2
+(2a +3)x +1有且只有一解，即a x 2
+(2a +1)x +2=0①有
且只有一解㊂当a =0时,①式变为x +2=
0,x =-2
，方程①有且只有一解，符合题意；当a ʂ0时，则Δ=(2a +1)2
-4a ˑ2=0，即4a 2
-4a +1=0
，解得a =12
㊂综上,a =0或a =
1
2
㊂16.44135
提示：因为2S n =a 2
n +a n ,
所以当n ȡ2,n ɪN *时,2S n -1=a 2
n -1+a n -1㊂
两式相减得,2a n =a 2n +a n -a 2n -1-a n -1,
整理得,(a n -a n -1-1)(a n +a n -1)=0㊂由a n >0知,a n +a n -1ʂ0，从而a n -a n -1
-1=0
㊂即当n ȡ2,n ɪN *
时,a n -a n -1=
1㊂当n =1时,2a 1=a 2
1+a 1，解得a 1=1或0
(舍去)
㊂则{a n }是首项为1，公差为1的等差数列,a n =
1+(n -1)ˑ1=n ㊂所以b n =2n
+1(2n +n )(2n +1
+n +1)=1
2n +n
-1
2
n +1
+n +1
㊂
则T n =b 1+b 2+ +b n =
13-16+1
6
-
111+ +12n +n -1
2n +1
+n +1
㊂故T 6=
13-127+6+1=
44
1
35㊂三㊁解答题
17.
设 甲中奖 为事件A , 乙中奖 为事
件B ㊂
(1)10张奖券中有3张有奖,
甲先抽取，甲中奖的概率P (A )=310㊂
(2)P (B )=P (A B +A B )=P (A B )+P (A B )
㊂因为P (A B )=310ˑ29=1
15
,P (A B )=
710ˑ39=7
30，所以P (B )=P (A B )+P (A B )
=115+730=930=310
㊂(3)因为P (A )=710,P (A B )=7
30
,
所以P (B |A )=P (A B )P (A )=7
30710=1
3
㊂
18.(1)设递增等差数列{a n }的公差为d (d >0
)㊂若选条件①，由a 2=2+d ,a 3=
2+2d ,a 4=
2+3d ，得(2+2d )2
=(2+d )(2+3d +1)㊂化简得d 2-d -2=0，解得d =2或d =-1
(舍去)㊂所以数列{a n }的通项公式为a n =
2n ㊂若选条件②，由S 1+1=3,S 2=4+d ,
S 3=6+3d ，有(4+d )2
=3(6+3d )，化简得d 2
-d -2=0
㊂解得d =2或d =-1(舍去)
㊂所以数列{a n }的通项公式为a n =
2n ㊂若选择条件③，由S n =a n a n +1
4
，得S n -1=a n -1a n
4
(n ȡ2)㊂两式相减得a n =
a n a n +1-a n -1a n
4㊂因为a 1=2,d >0，所以a n ʂ0，故a n +1-a n -1=4㊂所以2d =4，即d =2，数列{a n }
的通项公式为a n =
2n ㊂(2)因为b
n a n
是以2为首项,2为公比的
等比数列，所以b n a n =2n
log ln lg的互换公式㊂
由(1)知a n =2n ，所以b n =
2n ㊃2n
=n ㊃2
n +1
㊂
因此,T n =1ˑ22+2ˑ23+3ˑ24
+ +n ㊃2n +1
㊂
两边同乘以2，得2T n =1ˑ23+2ˑ24
+
3ˑ25
+ +(n -1)㊃2
n +1
+n ㊃2
n +2
㊂
以上两式相减得-T n =1ˑ22+23
+
24
+ +2
n +1
-n ㊃2n +2
㊂
故-T n =22
(1-2n
)1-2
-
n ㊃2n +2=2n +2
-4-n ㊃2
n +2
，即T n =(n -1)㊃2n +2
+4
㊂19.(1)组距d =5
㊂由5ˑ(0.02+0.04+0.075+a +
0.015)=1，得a =0.05㊂(2
)各组区间的中点值和相应的频率如表1所示㊂
表1
中点值30
35404550
频率
0.1
0.20.3750.250.075
x =30ˑ0.1+35ˑ0.2+40ˑ0.375+
45ˑ0.25+50ˑ0.075=40(g
)㊂s 2
=(-10)2
ˑ0.1+(-5)2
ˑ0.2+02
ˑ
0.375+52
ˑ0.25+102
ˑ0.075=28.75㊂(3
)由已知，得这种植物果实的优质率p =0.9，且X 服从二项分布B (3,0.9)㊂则X =0,1,2,3,P (X =k )=C k
3㊃
0.9k
㊃0.1
3-k
㊂
X 的分布列如表2所示㊂
表2
X 0
1
23
P
0.0010.0270.2430.729
所以E (X )=n p =
2.7㊂20.(1)若a =2，则f (x )=2l n x 2-x 2
+
2x ，易知x ʂ0，则f '(x )=2㊃
1
x
2
㊃2x -2x +2=4x -2x +2=-2x 2
+2x +4
x =
-2(x +1)(x -2
)x
㊂
令f '(x )>0，解得x <-1或0<x <2；令f '(x )<0，解得-1<x <0或x >2
㊂函数f (x )在(-ɕ,-1),(0,2
)上分别单调递增，在(-1,0),(2,+ɕ)上分别单调递减㊂
(2)f (
x )-2x =a l n x 2-x 2
=0，令t =
x2,t>0，则a l n t-t=0㊂当t=1时,-1=0不成立㊂
当tʂ1时,a=t
l n t，令g(t)=t
l n t,t>0且tʂ1，则g'(t)=l n t-1
(l n t)2㊂当0<t<1，和1<t<e时,g'(t)<0,g(t)单调递减;
当t>e时,g'(t)>0,g(t)单调递增㊂
则当0<t<1时,g(t)=t l n t<0；当t> 1时,g(t)ȡg(e)=e㊂
故当0<a<e时,a=t l n t无解，即f(x)-2x=0无解；当a=e时,a=t l n t的解为t=e，即f(x)-2x=0的解为ʃe，有2个解㊂
综上，当0<a<e时，无解；当a=e 时，有2个解㊂
21.(1)由题意，生产工艺生产该零件的尺寸服从正态分布N(50,σ2)，且尺寸不大于49.95mm的概率为0.02㊂
根据正态分布的性质，可得P(Xɤ49.95)=P(Xȡ50.05)=0.02㊂
所以P(49.95<X<50.05)=1-0.04
=0.96，计划生产最合理的个数为1200
0.96= 1250㊂
(2)改进前，零件尺寸符合条件的有1200个，不符合的有50个㊂
改进后，零件尺寸符合条件的有1200个，不符合的有25个㊂
则2ˑ2的列联表如表3所示㊂
表3
合格不合格总计
改进前1200501250
改进后1200251225
总计2400752475
可得χ2= 2475ˑ(1200ˑ25-1200ˑ50)2
1250ˑ1225ˑ2400ˑ75ʈ8.082> 6.635㊂
所以有99%的把握认为生产工艺改进
与生产零件的尺寸误差有关㊂
22.(1)f'(x)=l n x+x+1x-a(x>0)㊂
①当函数f(x)在定义域上单调递增时,
则f'(x)ȡ0，所以aɤl n x+x+1x在(0, +ɕ)上恒成立㊂
令g(x)=l n x+x+1x=l n x+1x+
1(x>0)，则g'(x)=1x-1x2=x-1
x2
㊂
所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+ɕ)上单调递增,g(x)ȡg(1)=2㊂故aɤ2㊂
②当函数f(x)在定义域上单调递减时，则f'(x)ɤ0，所以aȡl n x+x+1x在(0, +ɕ)上恒成立㊂
由①知,g(x)在(0,+ɕ)上无最大值，故不成立㊂
综上,aɪ(-ɕ,2]㊂
(2)由(1)中①得当a=2时,f(x)在(1, +ɕ)上单调递增，所以当xɪ(1,+ɕ)时, f(x)>f(1)=0，即(x+1)l n x-2x+2>0㊂故l n x>2
(x-1)
x+1在(1,+ɕ)上恒成立㊂令x=
n+1
n
,nɪN*，得l n n+1n> 2n+1n-1
n+1
n+1
，化简得l n(n+1)-l n n>
2
2n+1㊂
所以l n2-l n1>22+1;
l n3-l n2>24+1;
l n(n+1)-l n n>2
2n+1㊂
累加得l n(n+1)-l n1>23+25+ + 2
2n+1，即
1
3+
1
5+
1
7+ +
1
2n+1< 1
2l n(n+1),nɪN*㊂(责任编辑徐利杰)

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