可靠性，极限状态和重要性抽样 概率分析的应用主要是确定事件发生的概率。通常这个事件是个故障，因此，它与系统的可靠性有关。
可靠性 = R ª {}1P −故障
假设故障与下面的条件有关：
如果x 满足：，则能推出limit ()T x T >{}
x ∈故障。这里x 是输入的随机向量。不失一般性，我们可以构造一个函数： limit ()()g x T x T =−
则有：当时，安全运行；
()0g x <；当时，达到极限状态；
()0g x =当时，故障发生了。
()0g x >假设我们有一个2维的输入系统，则输入数据在对应平面上被分成安全和故障两个区域：
例：平面极限状态函数 故障
g (x ) = 0 极限状态 安全
然而事情并不总是那么容易，故障区域往往具有非常复杂的形状，例如下图所示：
例: 更复杂的极限状态函数
const的作用故障
安全
当然，情况还可能更糟, 会包括多个安全和（或）故障区域，例如下图所示：
例: 多重故障区域
故障
故障安全
蒙特卡罗可靠性分析
蒙特卡罗方法利用随机抽样和无偏概率估计来计算故障发生的概率：
N N P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭故障故障
在这里：是样本的总数
N      对应的样本数量
N 故障()0g x >就像前面讨论的，如果故障发生的概率很低，这种方法的效率就会很低，得不偿失。
重要性抽样
重要性抽样是在进行概率模拟时为减小估计结果的方差而普遍采取的一种技巧。换句话说，如果重要性抽样起作用，我们对确定的样本进行估计的不确定性就会降低，或者说对于达到同样的不确定性，所需要的样本数会减少。总之，重要性抽样是非常有用的，在对小概率事件的有效估计中发挥着至关重要的作用。
我们先来看看它的工作原理，然后再应用它来估计均值和可靠性。
给定：x 为输入的随机向量
f (x )为联合概率密度
y (x )是我们感兴趣的模拟的输出
all x
(())()()E y x y x f x dx =∫ 简单的蒙特卡罗方法（亦即：随机抽样）给出：
11
()()
N n n y y x E y N ==≈∑
标准误差为：
2
2y
y N σσ=
假如我们定义一个新的概率密度函数，它需要满足：
()h x all x 1
()h x dx =∫    0()h x 1≤≤
把带入()h x ()()y x f x dx ∫，得：
()
()()()()()f x y x f x dx y x h x h x dx =∫∫
由于是一个有效的分布，则有：
()h x ()()yf
h E y E = 利用蒙特卡罗方法可以求出()yf
h E
11()()
()()(n n N
n n yf y x f x yf
h N h x h )
E E y =⎛⎞=≈⎜⎟⎝⎠=∑
其标准误差为：
2
2
yf
h yf h N σσ=
所以，如果我们可以选择(x )使得h y yf h
σσ<，从而就能降低对y 估计的不确定性。 我们怎样使yf h
σ减小呢？考虑下面对的选择：
h ()()()h x y x f x α=  其中，1()()y x f x dx α≡
∫
显然： yf const h
α=← 0yf h
σ⇒=  y ⇒是否准确？
很明显，我们的问题是：事先我们不知道，也不知道，因为这正是我们首先要估计的量。 ()y x ()()y x f x dx ∫但这给我们提供了一个寻好的的方法，那就是我们喜欢的
()h x ()()()h x y x f x α≈
为什么这样选择？响应面！
回顾前面涡轮叶片的一维热传导问题，我们构造了一个()y x 的线性响应面：
8
01()ˆi i
i a x y x a =+∑= 对20个随机样本进行拟合，因为()f x 已知，且x i 服从简单的均匀分布，我们可以求得：

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