随机信号分析实验（matlab仿真实验）
⼀.实验内容：
(1) 产⽣均匀分布的随机数，⾼斯分布的随机数和其他分布（瑞利，卡⽅）的随机数及画图，对⽣成的随机数进⾏分析；
(2) 检验（1）中产⽣的均匀分布，⾼斯分布的数学期望和⽅差，并画出各种分布的随机变量的概率密度直⽅图；
(3) 两组及多组独⽴的均匀分布的随机数做和统计和的概率密度直⽅图；
(4) ⽤⼀个数学期望为0和不为0，⽅差为某值的⾼斯分布随机数，作为样本序列求⾃相关函数的估值，并⽤图形表⽰；
（5）并计算出的⾃相关函数的估值，作为样本序列求功率谱密度的估值，并⽤图形显⽰；
（6）仿真信号加⽩噪声经过系统前后的⾃相关函数和功率谱密度并图⽰；
⼆.实验原理：
实验⼀各种分布随机数的产⽣
（⼀）实验原理
1. 均匀分布随机数的产⽣原理
产⽣伪随机数的⼀种实⽤⽅法是同余法，它利⽤同余运算递推产⽣伪随机数序列，最简单的⽅法就是加同余法
为了保证产⽣的伪随机数能在【0，1】上均匀分布，需要M为正整数，此外常数c和初值y0亦为正整数。加同余法虽然简单，但产⽣的伪随机数效果不好，另⼀种同余⽅法为乘同余法，它需要两次乘法才能产⽣⼀个在【0，1】上均匀分布的随机数，
Matlab给我们提供了random函数供我们产⽣满⾜条件的均匀分布随机数，
a. Rand()函数：产⽣均匀分布随机数
b. Rand(M,N)函数：产⽣M⾏N列均匀分布的随机数；
c. X=random(‘unif’,a,b,N,M)函数：产⽣m⾏n列在a到b上随机分布的随机数；
2. ⾼斯分布随机数的产⽣原理
由于⾼斯随机变量的重要性，很有必要讨论⼀下⾼斯随机数的产⽣，⼴泛应⽤的有两种产⽣⾼斯分布随机数的⽅法，⼀种是变换法，⼀种是近似法。
（1） 变换法：
如果X1和X2是两个相互独⽴的均匀分布的随机数，那么下⾯两式：
（2） 近似法： 便是数学期望为m，⽅差为δ的平⽅的⾼斯分布随机数，且相互独⽴，这就是变换法
⾸先考虑获得数学期望为0，⽅差为1的⾼斯分布随机数，由于在【0，1】区间上均匀分布的随机变量X的
数学期望为
⽅差为
⽽如果有若⼲个不同的X相加构成新的随机变量 ，
那么当n⾜够⼤时随机变量Y是数学期望为0，⽅差为1的⾼斯分布随机数做变换 ，
即可产⽣符合要求的⾼斯分布随机数。
在学习中⼼极限定理时，曾提到n个在[0,1]区间上均匀分布的互相独⽴随机变量Xi (i=1,2…,n)，当n⾜够⼤时，其和的分布接近⾼斯分布。当然，只要n不是⽆穷⼤，这个⾼斯分布是近似的。由于近似法避免了开⽅和三⾓函数运算，计算量⼤⼤降低。当精度要求不太⾼时，近似法还是具有很⼤应⽤价值的。
3. 由⾼斯分布产⽣其他分布的随机数
有了⾼斯随机变量的仿真⽅法，就可以构成与⾼斯变量有关的其他分布随机变量，如瑞利分布、指数分布和 分布随机变量。
（1） 基于数学期望为0的⾼斯变量变换产⽣的随机变量分布
a. 瑞利分布
b. ⼴义瑞利分布
c. 指数分布
d. 中⼼卡⽅分布
（2） 基于数学期望不为0的⾼斯变量变换产⽣随机变量分布
a. ⾮中⼼卡⽅ 分布；
b. 莱斯分布：
4. 对⽣成的随机数进⾏分析
在实际应⽤之中，产⽣随机数之后，必须对它的统计特性做严格的检验，⼀般来讲，统计特性的检验包括参数检验，均匀性检验和独⽴性检验。事实上，如果在⼆阶范围内讨论随机信号，那么参数检验只能对产⽣的随机数的⼀，⼆阶矩进⾏检验。此外，参数检验还应该包括最⼩值，最⼤值，周期等。
5. 随机变量函数变换
根据随机变量函数变换的原理，如果能将两个分布之间的函数关系⽤显式表达，那么就可以对⼀种分布的随机变量进⾏变换得到另⼀种分布的随机变量。
实验⼆随机变量的检验
1. 随机变量数字特征的验证：
产⽣的随机数可以作为⼀个随机变量，也可以作为⼀个随机过程之中的样本函数，不论是随机变量还是随机过程的样本函数，都会遇到求其数学特征的情况，在图像处理时，也时常需要计算图像灰度直⽅图的数学期望，⽅差，峰态和偏态系数等等，事实上，在很多情况下，⽆法得到或者不能利⽤随机变量的全部样本，只能利⽤⼀部分样本来获得随机变量数字特征的估计值，估计值应该依概率收敛于被估计的参数；随机数产⽣之后，必须对它的统计特性做严格的检验。⼀般来讲，统计特性的检验包括参数检验、均匀性检验和独⽴性检验等。事实上，我们如果在⼆阶矩范围内讨论随机信号，那么参数检验只对产⽣的随机数⼀、⼆阶矩进⾏检验。我们可以把产⽣的随机数序列作为⼀个随机变量，也
可以看成随机过程中的⼀个样本函数。不论是随机变量还是随机过程的样本函数，都会遇到求其数字特征的情况，有时需要计算随机变量的概率密度直⽅图等。
（1） 均值的检验：
设随机数序列为
a. ⼀种计算均值的⽅法就是直接计算下式
，式中xn为随机数序列的第n个随机数；
b. 另⼀种计算⽅法是利⽤递推算法，第n次迭代的均值即前n个随机数的均值为
迭代结束之后，便可以得到随机数序列的均值 ，递推算法的优点在于可以实时计算均值，这种⽅法常⽤于在实时获取数据的场合；
d. 当数据量较⼤时，为了防⽌误差的积累，也可以采⽤ ,m1是取⼀⼩部分随机数计算的均值
（2） ⽅差的检验：
计算⽅差也可以⽤直接法和递推法，仿照均值的做法
两种计算⽅式有利有害，前者计算误差更⼩，但是后者可以节省运算次数。
⽅差的递推算法需要同时递推均值和⽅差：matlab生成随机数
2. 多组相互独⽴均匀分布随机数做和
如果n个独⽴的随机变量的分布是相同的，并且具有有限的数学期望和⽅差，当n趋向于⽆穷⼤时，它们之和趋向于⾼斯分布。这就是中⼼极限定理中的⼀个定理，它说明了如果每⼀个随机变量对和的贡献相同，则在⼀定条件下，其和是⾼斯分布的。
中⼼极限定理还指出：即使n个相互独⽴的随机变量不是相同分布的，当n⽆穷⼤时，如果满⾜任何⼀个随机变量都不占优或者对和的影响⾜够⼩，那么它们之和仍然会趋向于⾼斯分布。
利⽤计算机产⽣均匀分布的随机数。对相互独⽴的均匀分布的随机变量做和，可以很直观看到均匀分布的随机变量的和，随着做和次数的增加分布情况的变化，通过实验对中⼼极限定理的进⾏验证。
3. 统计随机数的概率密度直⽅图
假定被统计的序列x(n)的最⼤值和最⼩值分别为a和b。将 (a,b)区间等分M（M应与被统计的序列 x(n)的个数N相适应，否则统计效果不
好。）份后的区间为 ， ，
实验三⾃相关函数，功率谱密度估计

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