第一章  曲线论
§1.1 参数曲线
1、将一个半径为r 的圆盘在XY 平面内沿X 轴作无滑动的滚动，写出圆盘边缘上一点的轨迹方程（这条曲线称为旋轮线，或摆线）。
2、证明：曲线r(t)=(3t,3t 2,2t 3)的切线与某个确定的方向成定角。
3、设平面曲线C 与同一平面的一条直线l 相交于正则点p ，并且落在直线l 的一侧，证明：l 是曲线C 在点p 的切线。
4、证明：若曲线r(t)在点t 0 ，  0)(0≠′t x ，则该曲线在t 0的一个邻域内可以表示成
y=f(x),  z=g(x)
5、求曲线    =+≥=++x
y x z z y x 222220,1的参数方程。
§1.2  弧长
1、设下面的常数a ＞0，求曲线在指定范围内的弧长：
(1)  r(t)＝(a ch t ，a sh t ，at )，0≤t ≤b
(2)  悬链线  a
x ach y =，[0，x ] (3)  曳物线r(t)＝(acost, aln(sect+tgt)-asint)，[0，t]. 2、求下面曲线的单位切向量场
ds dr ： (1)圆螺旋线r(t) ＝(acost ，asint ，bt)，a ＞0.
(2)r(t)＝(cos 3t ，sin 3t ，cos2t)
3.设曲线C 是下面两个曲面的交线：
22221,,,0.x y z x ach a b a b a
−==> 求C 从点(a ，0，0)到点(x, y, z)的弧长.
4、求曲线r=r(t)，使得r(0)＝(1,0,－5)，),,()(2t e t t t r =′.
§1.3 曲率与Frenet 标架
1、求曲线的曲率：
(1)(),,0,a r at t a t
s parameter=>
(2)r ＝(3t －t 3,3t 2,3t ＋t 3)
(3)r ＝(a(t －sint), a(1－cost), bt)(a ＞0)，
(4)r ＝(cos 3t, sin 3t, cos2t).
2、求曲线的密切平面方程：
(1)r(t)＝(acost ,asint ,bt )，a 2＋b 2≠0
(2)r(t)＝(acost ,bsint, e t )，在t ＝0处，其ab ≠0.
3、求曲线sin ,(1)ln(1)z x shx y y z e x x +=+  +=+++
在(0，0，0)处的曲率和Frenet 标架. 4、求曲线
=−=++3
922222z x z y x  在(2，2，1)处的曲率和密切平面方程.
5、设曲线的方程是
221/1/(,,0),0,()(0,0,0),
0,(0,,),0.
t t e t t r t t t e t −− < ==  >  证明：这是一条正则曲线，并且在t=0处的曲率为零.求这条曲线在t ≠0处的Frenet 标架，并考察它在0±→t 时的极限。
§1.4 挠率与Frenet 公式
1、计算§3习题1中各曲线的挠率.
2、求§3习题3中的曲线在(0，0，0)处的挠率.
3、设曲线r ＝r(s)的挠率是非零常数，求曲线的曲率和挠率。
∫−=ds s s r )()(1~γβτ
4、证明：满足条件
常数=
+    22111k ds d k τ 的空间挠曲线或者是常曲率的曲线，或者是球面上的一条曲线。
5、试求沿曲线定义的向量场ρ(s)，使得以下各式同时成立： ()()(),()()(),()()().
s s s s s s s s s α
ραβρβγργ⋅=×=×=×&&
6、证明：
(1)若曲线在每一点处的切线都经过一个定点，则该曲线是一条直线；
(2)若曲线在每一点处的密切平面都经过一个定点，则该曲线必是一条平面曲线；
(3)若曲线在每一点处的法平面都经过一个定点，则该曲线必是一条球面曲线。
7、设123{();(),(),()}r s s s s ααα是定义在曲线r(s)上的单位正交标架场，命
31
,13,i i j j i d i ds αλα==≤≤∑ 证明：0ij ji λλ+=.
8、证明：曲线
11,2,3)1(,3)1()(2/32/3<<−
−+=s s s s s r  以s 为弧长参数。并求曲线的曲率、挠率和Frenet 标架场。
9、如果是)(s ασ=曲线r ＝r(s)的切线象。证明：该曲线的曲率和挠率分别是
2.[1]d ds k k k k σστττ      ==  +    并求它的Frenet 标架场.
10．设曲线r ＝r(t)的Frenet 标架场是{}.)(),(),();(t t t t r γβα
证明：()()3
3,,,,γαεγγγααα′⋅′⋅=′′′⋅′′′，其中τεsign =.
§1.5  曲线论基本定理
1、如果一条曲线的切向量与一个固定的方向成定角，则称该曲线为定倾曲线，或一般螺线（这样的曲线可以看成是柱面上与直母线成定角的曲线）。证明：曲线（κ＞0）是定倾曲线的充分必要条件是它的挠率与曲率之比是常数。
2、设κτ⋅=c ，c 是常数，写出这条曲线的参数方程。
3、证明：曲线
)sin 3,cos 2,sin 3()(t t t t t t r −+=
和
−=u u u u r ,2sin 2,2cos 2)(1 是合同的。
4、证明：曲线),,(:1t sht cht r C =与曲线
+=−1,2,2:2u e e r C u u 在空间E 3的一个刚体运动下是合同的。试求使C 1与C 2合同的刚体运动。
§1.6  曲线在一点的标准展开
1、如果在两条曲线之间可以建立一个点对应，使得在对应点这两条曲线有公共的主法线，则称这两条曲线互为共轭曲线。如果一条曲线有非平凡的（即与它自身不重合的）共轭曲线，则称它为Bertrand 曲线。证明：在互为共轭的曲线C 1，C 2的对应点之间的距离为常
数，并且在对应点处的切线成定角。
2、证明：曲率κ的挠率τ都不为零的曲线是Bertrand 曲线的充分必要条件是：存在常数λ，µ（其中λ≠0）使得
1=+µτλκ
3、若在曲线C 1和C 2之间存在一个点对应，使得C 1在任意一点的切线恰好是C 2在对应点的法线，则称C 2是C 1的渐伸线，同时称C 1是C 2的渐缩线。设曲线C 1的方程是)(1s r r =，其中s 是弧长参数，证明：C 1的渐伸线C 2的方程是
)()()()(112s s c s r s r α−+=
其中c 是常数，)(1s α是C 1的单位切向量。
4、设曲线C 1的方程是)(1s r r =，试求C 1的渐缩线C 2的方程。（提示：设C 2的方程是)()()()()()(1112s s s s s r s r γµβλ++=，并且要求)//()(11'2µγλβ+s r ，以此确定λ和µ。）
5、证明：若平面曲线的曲率中心轨迹是正则曲线，则它是原曲线的一条渐缩线。
6、经过曲率中心、并与密切平面垂直的直线称为曲率轴。证明：球心在点s =0曲率轴上、经过点r (0)的球面与曲线r =r (s )在s =0处有二阶以上的切触（提示：只要证明
01)0()0(1)0()(1lim 220020=
+        −        ++−→c c r s r s s κγβκ） 7、与曲线在一点有三阶以上切触的球面称为密切球面。试求曲线r =r (s )在点s 处的密切球面的中心。
§1.7  平面曲线
1、求下列平面曲线的相对曲率r k ；
(1)椭圆)sin ,cos (t b t a r =，0≤t ＜2π
(2)双曲线),(bsht acht r =
(3)抛物线r =(t ,t 2)
(4)摆线r =(a (t -sin t ),a (1-cos t ))
(5)悬链线(,)t r t a ch a =⋅
(6)曳物线)sin )ln(sec ,cos (ϕϕϕϕa tg a a r −+=，0≤ϕ＜π/2。
2、设在平面极坐标系下，曲线的方程是)(θρρ=，其中θ是极角，ρ是极距。求曲线的相对曲率的表达式。
3、已知曲线的相对曲率为
211
)(s s r +=κ
其中s 是弧长参数，求这条平面曲线的参数方程。
4、求第1题中各条曲线的曲率中心轨迹。
5、求下列曲线的渐伸线：
(1)圆周：x 2+y 2=a 2。
(2)悬链线：a
x ch a y ⋅= (3)摆线：)cos 1,sin ()(t t t t r −−=

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。