§1　参数方程的概念
1.参数方程的概念
(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数
①
并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数.
相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程.
(2)在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程x＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义域的交集.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
【思维导图】
【知能要点】
1.参数方程的概念s parameter.
2.求曲线的参数方程.
3.参数方程和普通方程的互化.
题型一　参数方程及其求法
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.
2.求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.
第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定.
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
【例1】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为 rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.
解　如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知
又θ＝t (t的单位：S)，故参数方程为
【反思感悟】 以时间t为参数，在图形中分别寻求动点M的坐标和t的关系.
1.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P的轨迹方程.
解　以O点为原点，过点O且与l垂直的直线为x轴，过点O与l平行的直线为y轴建立直角坐标系.设点O到直线l的距离为d(为定值，且d>0)，
取∠xOQ＝θ为参数，
θ∈，
设动点P(x，y).在Rt△OQN中，
∵|OQ|＝，|OP|＝|OQ|，
∠xOP＝θ＋，
∴x＝|OP|cos
＝·cos
＝·d，
y＝|OP|·sin＝·sin
＝·d.
∴点P的参数方程为
.
题型二　参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.
【例2】 已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线上.
(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程.
分析　本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点M(5，4)在该曲线上，则点M的坐标
应适合曲线C的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.
解　(1)由题意可知有故∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为
由第一个方程得t＝代入第二个方程，得
y＝，即(x－1)2＝4y为所求.
【反思感悟】 参数方程化为普通方程时，求参数的表达式应从简单的有唯一结论的式子入手，易于代入消参.
2.把下列参数方程化为普通方程.
解　由已知得
由三角恒等式sin2θ＋cos2θ＝1，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1这就是所求的普通方程.
【例3】 选取适当的参数，把普通方程＋＝1化为参数方程.
解　设x＝4cos φ，代入椭圆方程，得＋＝1.
∴y2＝9(1－cos2φ)＝9sin2φ，即y＝±3sin φ.由参数φ的任意性可知y＝3sin φ.故所求参数方程为(φ为参数).
【反思感悟】 选取的参数不同，所得曲线的参数方程不同，注意普通方程和参数方程的等价性.
3.选取适当参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程.
解　选t＝x，则y＝2t＋3，由此得直线的参数方程(t∈R).也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1，参数方程为
1.已知曲线C的参数方程是：(t为参数).
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值.
解　(1)把点M1的坐标(0，1)代入方程组，得：

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