高斯-勒让德数值积分Matlab代码
[code]function [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)
% 高斯-勒让德数值积分
%
% 参数说明
% fun：积分表达式，可以是函数句柄、inline函数、匿名函数、字符串表达式，但是必须可以接受矢量输入
% a,b：积分上下限，注意积分区间太大会降低精度，此时建议使用复化求积公式，默认[-1 1]
% n：积分阶数，可以任意正整数，但是不建议设置过大，大不一定能得到更好的精度，默认7
% tol：积分精度，默认1e-6
% ql：积分结果
% Ak：求积系数
% xk：求积节点，满足ql=sum(Ak.*fun(xk))
%
% 举例说明
% fun=@(x)exp(x).*cos(x); % 必须可以接受矢量输入
% quadl(fun,0,pi) % 调用MATLAB内部积分函数检验
% [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,0,pi)
%
% 高斯积分说明
% 1.高斯积分是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。一般插值型数值积分精度为至少n阶，且具有高阶不稳定性
% 2.高斯求积节点就是对应n阶正交多项式的根，构建首项系数为1的正交多项式参见www.matlabsky/thread-4798-1-1.html
% 3.高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到
% 4.由高斯求积节点为根构成的多项式，与任何不超过n阶的多项式正交
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% 勒让德正交多项式说明
% 1.区间[-1,1]上关于权rho(x)=1的正交多项式系，满足
%                       |-   2/(2j+1)  (i=j)
% ∫(Pi(x)*Pj(x),-1,1)= |
%                       |-   0         (i≠j)
% 2.勒让德正交多项式的通式为：P0=1, Pn=1/(2^n*n!) * diff((x^2-1)^n,n)  (n=1,2,...)
% 3.关于高斯-勒让德的数值积分的求积系数和节点，由于表达式不便于书写，感兴趣的网友可以参考相关书籍
%
% by dynamic of Matlab技术论坛
% see also www.matlabsky
% contact me matlabsky@gmail
% 2010-01-15 23:05:33
%
% 输入参数有效性检验
if nargin==1
    a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;
elseif nargin==3
    n=7;tol=1e-8;
elseif nargin==4
    tol=1e-8;
elseif nargin==2|nargin>5
    error('The Number of Input Arguments Is Wrong!');
end
% 计算求积节点
syms x
p=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n));
tk=roots(p); % 求积节点
% 计算求积系数
Ak=zeros(n+1,1);
for i=1:n+1
    xkt=tk;
    xkt(i)=[];
    pn=poly(xkt);
    fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i));
    Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数
end
% 积分变量代换，将[a,b]变换到[-1,1]
xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;
% 检验积分函数fun有效性
fun=fcnchk(fun,'vectorize');
% 计算变量代换之后积分函数的值
fx=fun(xk)*(b-a)/2;
% 计算积分值
ql=sum(Ak.*fx);[/code]
Matlab只能直接计算内外积分限都是已知实数的二重积分
比如 INT_(a)^(b)INT_{c}^{d}f(x,y)dxdy，其中a,b,c,d都是已知实数，则可以用Matlab指令:
 
dblquad(f(x,y),c,d,a,d);
 
但如果内积分限是外积分的积分变量函数时，Matlab不能直接运算。
比如INT_(a)^(b)INT_{g1(y)}^{g2(y)}f(x,y)dxdy, 其中外积分限a,b都是已知实数, 而内积分限g1(y), g2(y)都是外积分变量y的函数
 
解法： 把内积分变量x转换成y和一个新定义变量v的函数： x=(1-v)*g1(y)+v*g2(y),这样，原来的积分公式可以变为：
INT_(a)^(b)INT_{0}^{1)}f((1-v)*g1(y)+v*g2(y), y)*[g2(y)-g1(y)]dvdy
 
这时内积分变量是v，内积分上下限是常数0和1. 积分函数变成f((1-v)*g1(y)+v*g2(y),,y)*[g2(y)-g1(y)] ，注意这里f(x,y)中的x已经转换成(1-v)*g1(y)+v*g2(y)。
 
这样，这个二重积分可以用Matalb指令算出:
 
dblquad(f((1-v)*g1(y)+v*g2(y),y)*(g2(y)-g1(y)) ,0,1,a,b);
用matlab求定积分的三个实例代码
一、符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：
>>syms x y z %定义符号变量
>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式
F2 =
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解
>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解
VF2 =
224.92153573331143159790710032805
二、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例：
求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。
>>fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数fname
>>Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法
Isim =
0.746824180726425
IL=quadl(fun,0,1) %牛顿－柯特斯法
IL =
0.746824133988447
三、梯形法求向量积分
trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。
>>d=0.001;
>>x=0:d:1;
>>S=d*trapz(exp(-x.^2))
S=
0.7468
或：
>>format long g
>>x=0:0.001:1; %x向量，也可以是不等间距
>>y=exp(-x.^2); %y向量，也可以不是由已知函数生成的向量
>>S=trapz(x,y); %求向量积分
S =
0.746824071499185
int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3
quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的）。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3
int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。
对于y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))，被积函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下：
>> syms x
>>y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))
>>s=int(y,x,0,inf)
y =
exp((-x^2-x-1)/(1+x))

Warning: Explicit integral could not be found.
>> In sym.int at 58
s =
int(exp((-x^2-x-1)/(1+x)),x = 0 .. Inf)
只有通过数值计算解法
>> dx=0.05; %采样间隔
>>x=0:dx:1000; %数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点，只要终值足够大，精度不受影响
>>y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));
>>S=dx*cumtrapz(y); %计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得
>>S(end)
ans =
0.5641 %所求定积分值
或进行编程，积分上限人工输入，程序如下：
%表达式保存为函数文件
function y=fxy(x)
y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x)); % save fxy.m
% main --------主程序
clear,clc
h=.001;p=0;a=0;
R=input('请输入积分上限，R=')
while a<R
p=p+(fxy(a)+fxy(a+h))*h/2;
a=a+h;
end
p=vpa(p,10)
运行主程序后得到结果：
请输入积分上限，R=1000
R =
1000
p =
.5641346055
其它结果如下：
0-1: int=.3067601686
0-2: int=.4599633159
0-5: int=.5583068217
0-10: int=.5640928975
0-100: int=.5641346055
0-1000: int=.5641346055
在积分函数中,sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3通过函数参数输入,如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了，可以求三重积分了。
完整函数程序：
function Fn(n1,n2,n3)
if n1==0
e1=1;
else if n1>0
e1=2;
end
end
if n2==0
e2=1;
else if n2>0
e2=2;
end
end
if n3==0
e3=1;
else if n3>0
e3=2;
end
end
F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);
S=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5) %求三重数值积分

将以上代码保存为Fn.m程序文件，即m文件，然后运行：
>> Fn(1,1,1)
S =
866.9655

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