微分⽅程matlab绘图,Matlab学习——求解微分⽅程（组）Matlab学习——求解微分⽅程(组)
发布时间：2018-05-29 17:18,
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Matlab
介绍：
1.在 Matlab 中，⽤⼤写字母 D 表⽰导数，Dy 表⽰ y 关于⾃变量的⼀阶导数，D2y 表⽰ y 关于⾃变量的⼆阶导数，依此类推.函数
dsolve ⽤来解决常微分⽅程(组)的求解问题，调⽤格式为
X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)
如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解
系统缺省的⾃变量为 t。
2.函数 dsolve
求解的是常微分⽅程的精确解法，也称为常微分⽅程的符号解.但是，有⼤量的常微分⽅程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却⽆法求出其解析解，此时，我们需要寻求⽅程的数值解，在求常微分⽅程数值解⽅⾯，MATLAB
具有丰富的函数，将其统称为 solver，其⼀般格式为：
[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)
说明：(1)solver 为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i 之⼀.
(2)odefun 是显⽰微分⽅程 y '  = f (t , y) 在积分区间 tspan = [t 0 , t f ] 上从 t0 到 t f
⽤初始条件 y0 求解.
(3)如果要获得微分⽅程问题在其他指定时间点 t 0 , t1 , t 2 , , t f  上的解，则令tspan = [t 0 , t1 , t 2 ,
t f ] (要求是单调的).
(4)因为没有⼀种算法可以有效的解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 solver，对于不同的 ODE
问题，采⽤不同的 solver
3．在 matlab 命令窗⼝、程序或函数中创建局部函数时，可⽤内联函数 inline，inline 函数形式相当于编写 M
函数⽂件，但不需编写 M-⽂件就可以描述出某种数学关系.调⽤ inline 函数，只能由⼀个 matlab
表达式组成，并且只能返回⼀个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因⽽，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应
⽤ inline
matlab定义函数表达式函数，inline 函数的⼀般形式为：
FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有⾃变量列表’)
例如：(求解 F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b 是标量；x 是向量 )在命令窗⼝输⼊:
Fofx=inline('x.^2.*cos(a.*x)-b','x','a','b');g = Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1)
系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使⽤内联对象函数 inline 不需要另外建⽴ m ⽂件，所有使⽤⽐较⽅便，另外在使⽤ ode45
函数的时候，定义函数往往需要编辑⼀个 m ⽂件来单独定义，这样不便于管理⽂件，这⾥可以使⽤ inline 来定义函数。
例⼦：
⼀、ex(求精确解)：
1. 求解微分⽅程 y ' + 2xy = xe-x2
syms x y; y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')
运⾏结果：
2. 求微分⽅程 xy ' + y - e x  = 0 在初始条件 y (1) = 2e 下的特解并画出解函数的图形.
syms x y; y=dsolve('x*Dy+y-exp(1)=0','y(1)=2*exp(1)','x');ezplot(y)
运⾏结果：
3. 求解微分⽅程组在初始条件x (t = 0)= 1, y (t =0 )= 0 下的特解，并画出解函数的图像。
syms x y t;
[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t');
simplify(x); simplify(y); ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto
其中，simplify函数可以对符号表达式进⾏简化。以下是运⾏结果：
⼆、ex(近似解):
1. 求解微分⽅程初值问题的数值解，求解范围为区间 [0,0.5] 。
fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);
plot(x,y,'o-')
2.求解微分⽅程，y(0) = 1,y(0) = 0 的解，并画出解的图像。
通过变换，将⼆阶⽅程化为⼀阶⽅程组求解.令，则
编写 vdp.m ⽂件：
function fy=vdp(t,x) fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; end
命令⾏输⼊：
y0=[1;0] [t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2); plot(t,y,t,dy)
在使⽤ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑⼀个 .m⽂件来单独定义，这样不便于管理⽂件，因此编写 inline 函数：fy=inline('[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]','t','x')
运⾏：
结果⼀致！
三、ex(⽤ Euler 折线法求解):
Euler 折线法求解的基本思想是将微分⽅程初值问题
化成⼀个代数(差分)⽅程，主要步骤是⽤差商替代微商，于是
记，从⽽，于是
1. ⽤ Euler 折线法求解微分⽅程初值问题
的数值解(步长h取 0.4)，求解范围为区间[0,2]
本题的差分⽅程为：
clear; f=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1;
szj=[x,y];%数值解 for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs，替换函数 x=x+h;
szj=[szj;x,y]; end; szj; plot(szj(:,1),szj(:,2))
说明：替换函数 subs 例如：输⼊ subs(a+b,a,4) 意思就是把 a ⽤ 4
替换掉，返回 4+b，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分别⽤字符 alpha
替换 a 和 2 替换 b，返回 cos(alpha)+sin(2)。
偏微分⽅程解法
Matlab 提供了两种⽅法解决 PDE 问题，⼀是使⽤ pdepe
函数，它可以求解⼀般的 PDEs，具有较⼤的通⽤性，但只⽀持命令形式调⽤；⼆是使⽤ PDE ⼯具箱，可以求解特殊 PDE 问题，PDEtoll 有较⼤的局限性，⽐如只能求解⼆阶 PDE问题，并且不能解决⽚微分⽅程组，但是它提供了 GUI
界⾯，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过 File—>Save As 直接⽣成 M 代码.
实例：
求解⼀个正⽅形区域上的特征值问题：
正⽅形区域为：。
(1)使⽤ PDE ⼯具箱打开 GUI 求解⽅程
(2)进⼊ Draw
模式，绘制⼀个矩形，然后双击矩形，在弹出的对话框中设置Left=-1,Bottom=-1,Width=2,Height=2，确认并关闭对话框
(3)进⼊ Boundary 模式，边界条件采⽤ Dirichlet 条件的默认值
(4)进⼊ PDE 模式，单击⼯具栏 PDE 按钮，在弹出的对话框中⽅程类型选择Eigenmodes，参数设置 c=1,a=-1/2,d=1，确认后关闭对话框
(5)单击⼯具栏的 D 按钮，对正⽅形区域进⾏初始⽹格剖分，然后再对⽹格进⼀步细化剖分⼀次
(6)点开 solve 菜单，单击 Parameters 选项，在弹出的对话框中设置特征值区域为[-20,20]
(7)单击 Plot 菜单的 Parameters 项，在弹出的对话框中选中 Color、Height(3-D plot)和 show mesh
项，然后单击 Done 确认
(8)单击⼯具栏的“=”按钮，开始求解
得到结果：

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